笔试杂题选记

在网上天天划水刷面经，见到 teaser 就记下来。或者应该从绿皮书 pdf 第 78 页开始了。

现在还是不会做的题

题目大意是说有13张牌，数字1到10，以及J、Q、K，JQK代表0。这些牌被随机倒置。每一轮可以花费1元询问两张牌的差值（不是绝对值，是第一张减第二张的差值）。最终需要选择两张牌，获得它们的数字乘积作为奖励。如果其中一张是JQK，则奖励为0。问题是要确定购买入场券最多值多少钱。

需要学习统计概念的题目

  1. 三个变量 X Y Z 两两相关系数都是 \(\rho\) 那么求 \(\rho\) 的取值范围

    相关系数的定义：\(\displaystyle\dfrac{cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}，cov(X,Y) =E\left[ (x- E(x))(y-E(y))\right]\)。

    有一个相当简单的做法，考虑 X Y Z 的相关系数矩阵，它是对角线为 1,其余都是 \(\rho\) 的矩阵，满足半正定，特征值是 \(\lambda_1 = 1-\rho ,\lambda_2 = 2\rho +1\)

    相关矩阵的半正定性可以通过其构造方式来理解：它是标准化后的协方差矩阵。协方差矩阵可以被表示成 \(Z^T Z\)，这种矩阵显然半正定。

  2. X Y 是两个 [0,1] 上均匀分布的随机变量，求 X+Y>1 时 Y 对 X 的回归系数

    \(Y = \beta X + \epsilon\)，这里 \(\beta = \dfrac{cov(X,Y)}{Var(X)}\)

    这个事情好像在高等代数最小二乘法那里讲过，大概是最小化预测值 $y_i $ 和观测值 \(y' _ i\) 的 l2 norm，推出来的回归系数的表达式。

计数

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强制要求某个点的坐标是 0，剩下的点必须放到 0~pi 上，有 \(2^{n-1}\) 的概率满足条件。每个点都以均等概率成为 0 号点，所以直接乘 n 即可。

这个题有一个非常强大的扩展，可以参考 https://www.cnblogs.com/yspm/p/18703821/N_Points_On_Sphere_all_in_One_Hemisphere

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陈年典题。俩人都 n 枚， set P(A>B) = P(A<B) = x,set P(A = B) = y

A 有 n+1 枚，那么A 比 B 多的概率就是 x+0.5 y，这显然是 0.5

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这题如果婴儿在原点就不能再往后走了，0.8 原地不动，0.2 往前。

markov chain，又名概率dp。\(dp_{i} = adp_{i} + bdp_{i+1} + cdp_{i+2},dp_{0} = dp_{0}\times 0.8 + dp_{1} \times 0.3\)。研究一下无穷状态下，这个 markov 过程收敛到 stationary distribution，把这东西一求就行了。

brain teaser

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我的想法是，把 8L 倒入 3L，把 3L 倒入 5L，把 8L 倒入 3L，把 3L 倒入 5L，这时候三个瓶子分别有 1L(8L) 2L(3L) 5L(5L) 括号里面表示瓶子最开始的容量。这时候把 1L 水倒掉，把容积为 8L 的瓶子里面的 2L 水倒到 容积为 3L 的瓶子里面，再把容积为 5L 的瓶子里面的 5L 水倒到 3L 瓶子里面直到满了。这样 5L 瓶子里面剩了 4L 水

bonus

  1. 最小化操作次数的构造方案

  2. 8 5 3 4 变成 a b c d 了怎么做？5 3 变成 \(a_1... a_n\) 了怎么做

【description】有两个门，一个通往工作的 offer，另一个通往离开。每个门有一个守卫，其中一个只说真话，一个只说假话。你只能问一个问题，那么你应该问什么？

【sol】这题比较简单，不知道为啥 skyh 给 3 星。首先注意到你不知道谁说真话谁说假话，于是你问当前这个人另一个人的回答就行了。具体的问题类似另外一个人认为你这个门是好门还是坏门。

【des】房间里有一个灯泡，房间外有四个开关，其中恰好有一个控制了灯泡。你不知道哪个开关控制了灯泡，请问你最少进房间几次能够找到这个开关？

【sol】这题就不自然。比如进入房间之后不光能看到电灯泡的亮暗，还能摸冷热。这是两个 bit 的信息量。所以只用进入房间一次。网上给了一个构造，大概是“先打开开关 12，让灯泡变热；然后关掉1 打开3 进入房间。”

博弈论

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    最最重量级的一题。感觉是这段时间做的最牛逼的一题了。做法很 trivial，枚举 8 个自己的选择，然后 dp_{i,j} 表示自己匹配了 i 个，对面 j 个时，自己获胜的概率，狂暴手算得到dp_{0,0} 即可。

待分类

  1. 一只蚂蚁在一个正方体的楞上走，在每个顶点会随机往三个邻点中的一个走去，请问期望多少次走回自己。

  2. 一列（正无穷个）随机变量服从独立同分布于 U(0,1)，n 为前缀和大于等于 1 的最小下标，求 n 的期望。

  3. 还有一个计算k面骰子投n次，假设1向上和2向上的次数是x1 x2，求这俩变量的covarience

  4. 有 [0,1] 这部分数轴，被随机分成 n 段，请问包含数轴上 a 点的线段的期望长度是多少

  5. 两个骰子，扔一次得到 A,B，求 A 的 B 次方的期望。

  6. 一共有7个人，每个人背后有1个数，每个人可以看到除他以外的所有人后背上的数，但看不到自己的，每个人后背上的数是1-7的一个整数(可以重复) 若某人写的数等于他后背上的数，全员获救，否则全死。请给出一个能确保所有人获救的写数方案

posted @ 2025-01-26 23:50  yspm  阅读(128)  评论(0)    收藏  举报