【学习笔记】二分图
二分图
图上的点可以完美的被分成两部分，使得每一个部分的点中互相没有连边
或者说：可以黑白染色、没有奇环
判定
直接 \(dfs\) 染色
inline void dfs(int x){
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
int t=e[i].to;
if(col[t]==-1) col[t]=1-col[x],dfs(t);
}
return ;
}
这里的 \(col[\space]\) 就是表示每个点所属于的点集标号
我第一次写的是按照 \(0,1\) 这样走的，还可以有 \(1,2\) （就是在 \(col\) 计算的时候拿 \(3\) 减呗）
最大匹配
匹配：二分图的一个边集，使得边集中的所有边没有公共端点
最大匹配：边集中 \(size\) 最大的一个
匹配边：顾名思义，在匹配的边集中的边
增广路（交错路）：一个从连接左部非匹配点和右部非匹配点的路径
使得匹配边和非匹配边交替出现，长度应为奇数
正是增广路的这个定义，使得我们可以在找到一条增广路的时候把路径上的所有的边取反，然后边集大小会 \(+1\)
求解主要是匈牙利算法
就是每次dfs找增广路，如果找到了答案加 \(1\)
inline bool dfs(int x){
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
int t=e[i].to; if(vis[t]) continue;
vis[t]=1;
if(to[t]==-1||dfs(to[t])) return to[t]=x,1;
}
return 0;
}
最小点覆盖
在二分图中的一个点集，使得图中所有边都存在至少一个端点属于这个点集
\(\rm König\) 定理：
二分图最小点覆盖集的大小 \(=\) 二分图最大匹配集的大小
先说构造最小点覆盖的方法：
-
求出最大匹配。
-
从右部每个未匹配点出发寻找增广路(一定失败，要不然就不是最大匹配了)，标记访问过的节点。
-
取左部标记点、右部未标记点，构成一组最小覆盖。
证明
经过上述构造方法后
右部未匹配点一定是标记点——因为它们是出发点
左部未匹配点一定是未标记点——如果被标记则找到了增广路（两边都是未匹配点诶）
一对匹配点都被标记或者都未标记——因为左部匹配点只能通过右部到达
取左部标记点、右部未标记点，恰好使得每对匹配点被取走一个
所以数量值相等
匹配边一定被覆盖——每对匹配点取走一个
不存在连接两个未匹配点的边——否则出现仅包含1条边的增广路
连接左部匹配点和右部未匹配点的边——后者是出发点，前者一定被标记
连接左部未匹配点和右部匹配点的边——后者未被标记，否则存在增广路
所以所有的边都被覆盖了，大功告成
最大独立集
定义：任意两点在图中都没有边相连的点集称为图的独立集。
定理：二分图最大独立集 \(=\) 图的点数 \(-\) 二分图最大匹配
证明：选出最多的点构成独立集
\(\Leftrightarrow\) 在图中去掉最少的点，使剩下的点之间没有边。
\(\Leftrightarrow\) 用最少的点覆盖所有的边，去掉的是最小覆盖。
例题：骑士放置
给定一个\(n \times m\) 的矩形和几个禁止放置点，求最多可以放几个骑士
首先看出来是求最大独立集不难吧
建图就是对当前点和可以被攻击的点建图就行
同时我们发现骑士所在的位置和可以攻击到的位置的 横纵坐标之和 是不一样的
这样就可以省略 \(dfs\) 染色的过程了，直接建图的时候看一下奇偶性就可以了
最小路径覆盖问题
最小路径覆盖：用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图的所有顶点。
做法：把每个点拆成左边右边两个，对于每条边\((u,v)\)，链接\((l_u,r_v)\)
跑最大匹配，最小路径覆盖数 = 原有向图节点数 – 新二分图最大匹配数
证明：
按照定义，我们选取的路径上的点都是入度、出度为\(1\)的
除了起点没有入度，终点没有出度
而拆点就是因为匹配中每个点的连接的边不多于 \(1\) 条
路径上的边对应匹配边，有向图中的出点对应左部点
所以最小路径覆盖 \(=\) 最小未被匹配的点 \(=n-\) 最大匹配
例题如下
似乎是模板题
首先要发现这个题的两个相交的路径：\(x \rightarrow y \rightarrow z\) 和路径 \(u \rightarrow y \rightarrow v\)
这里如果我们添加一条边\((x,z)\)
那么问题又转化成了最小点覆盖（\(x\rightarrow z\) 和 \(u \rightarrow y \rightarrow v\) ）
这里搞一个 \(Floyd\) 传递闭包搞连通性然后最大匹配就好了
例题
- 有障碍点建图 USACO Muddy Fields
（贪心一发，如果重叠少的做法肯定优）
我们发现这个木板只有横竖两种摆放方式，而且如果都放在这里的话就重叠了
所以我们让每行每列为点，每个行列的交点为边建图，然后是个最小点覆盖
建图：如果遇到障碍点标号就加一，障碍点在这里的定义是好地
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=m;++j){
if(g[i][j]=='*') ++c1;
while(g[i][j]=='*') id1[i][j++]=c1;
}
}
for(int j=1;j<=m;++j){
for(int i=1;i<=n;++i){
if(g[i][j]=='*') ++c2;
while(g[i][j]=='*') id2[i++][j]=c2;
}
}
- Tyvj1935 导弹防御塔
首先我们这个最值并不好做，那么转二分答案
二分时间 \(T\) 看 \(T\) 是不是可行
在\(check\) 函数里面做二分图完备匹配
预处理每一座塔和每个入侵者的距离
塔和入侵者是可以分列左右的，所以这玩意是个二分图
拆点：若某座塔在 \(T\) 秒内可以发射 \(X\) 次导弹，就把这座塔拆成 \(X\) 个点。
建边的条件：
导弹 \(A\) 在 \(S\) 秒时发射，飞到入侵者 \(B\) 需 \(V\) 秒，若 \(S+V \le T\)，就连边
