计算机数值表示

 

一、概述

       近几日觉得理解计算机的数值表示对实际编程的理解有帮助，于是就回忆整理了以前的学的基础知识，主要来自《计算机原理》与《深入理解计算机系统》,本文讨论计算机整数表示与小数的定点法表示与十进制的映射.

二、整数

       我们表达一个数都是用K进制数的方式，K进制数是一个指数，无符号模式的任i位上的数都可以表示为K_i*K^i-1。计算机是用二进制表示数的，因此它位上的通项公式为2_i*2^i-1。整数分为无符号与有符号两种，下面分别来讨论.

1、无符号整数

            二进制的无符号整数与十进制的映射，直接用2_i*2^i-1对每一位进行求和即可。定义一个映射函数为(数学符号不会打，因此用手写的表示)：

           

        其值域为[0,2^w-1].

2、有符号整数

       计算机表示有符号整数通常有三种编码方式:原码、反码、补码。但一般用补码，因此下面主要讨论补码.

2.1、原码

       所谓原码，就是指最高位充当符号位，不充当实际计数。定义一个映射函数为:

      

       其最小值就是B2U_w-2取最大值，最高位为1时，为-2^w-1+1,最大值就是B2U_w-2取最大值，最高位为0时，为2^w-1-1,因此其值域为[-2^w-1+1,2^w-1-1].

2.2、反码

        所谓反码，就是最高位充当权-(2^w-1-1)参与计数。定义一个映射函数为:

       

        其最小值就是B2U_w-2取0时，最高位取1时,为-2^w-1+1,最大值就是B2U_w-2取最大值，最高位取0，为2^w-1-1.因此其值域为[-2^w-1+1,2^w-1-1].

2.3、补码

        我们从原码和反码的值域可以看出，它们的负域与正域都是对称，也就是能表示2^w种状态，也就是有正0与负0，因此不够完美。在某一天，一个聪明的印度人发明了补码，完美的表示了有符号整数.

        所谓补码，就是最高位充当权-2^w-1参与计数。定义一个映射函数为:

       

        其最小值为B2U_w-2取0时,最高位取1时，为-2^w-1,最大值为B2U_w-2取最大值，最高位取0时，为2^w-1-1,因此其值域为[-2^w-1,2^w-1-1].从值域可以看出，负域比正域多1，从而完美表示2^w-1钟状态.

2.4、根据x求-x的补码

        我们设B2T_w=-x,替换并左右移动可以得B2U_w-2=2^w-1-x,从这可以看出-x的0到w-2位的无符号形式为2^w-1-x,我们再把最高位权算进来得2*2^w-1-x,也就是2^w-x,欧，我们换种写法来看看:2^w-1-x+1,等于什么意思？就是取反再加1.因此根据x的补码求-x的补码就是2^w-x的无符号形式，也就是对x的进行取反加1操作.

2.5、有符号补码转无符号形式.

        从B2T_w与B2U_w的对比可以看出，其差别就是前者多减了一个2^w-1，少加了一个2^w-1，因此只要补回来就行了,为x+2*2^w-1=x+2^w。反之,B2U_w------>B2T_w只要减两个2^w-1就行了，为x-2^w.

三、定点小数

         所谓定点小数就是由程序员约定小数点在数的那一位，计算机不存储小数点的位置，也就是说将小数转为整数来存储，来运算，可以优化运算的性能(整数运算要比浮点快).

1、小数与定点小数互转

         我们在日常手动计算时，常常通过将小数点右移将小数转为整数，算完再小数点左移相等的位置，也就是乘或除10ⁿ(n表示移动的位数)，如0.25右移两位=0.25*10²=25,25左移两位=25/10²=0.25。右移也就表示保留几位小数.在计算机中只不过把10换为2罢了.但是二进制的右移并不总得一个整数，有余数时需要四舍五入，因此定点小数是有精度损失的，不过保留的小数越多，精度也就越高。我们定义小数为f,保留几位小数的定点小数为Qn,综上所述得:

        Qn=f*2ⁿ; 

        f=Qn/2ⁿ;  C语言表示:int q=819;int n=1<<12;float f=(float)q/n;

2、定点小数运算

      我们知道小数加减，小数点是不会变化的，因此定点小数的加减法与整数一样.而两个小数乘除法小数是会发生移动的，如0.2*0.3=0.06,1.25/0.5=2.5,而一个整数乘以一个小数，一个小数除以一个整数时小数点位不会发生移动。因此:

       qn=f+f2=q1n+q2n;

       qn=f-f2=q1n-q2n;

       qn=f*f2=q1n*q2n/2ⁿ;   q2n/2ⁿ把q2n转为f2

       qn=f/f2=q1n*2ⁿ/q2n;