P2241 统计方形（数据加强版）- 题解

P2241 统计方形（数据加强版）

题目背景

1997年普及组第一题

题目描述

有一个 $n \times m$ 方格的棋盘，求其方格包含多少正方形、长方形（不包含正方形）。

输入格式

一行，两个正整数 $n,m$（$n \leq 5000,m \leq 5000$）。

输出格式

一行，两个正整数，分别表示方格包含多少正方形、长方形（不包含正方形）。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 3

输出 #1

8 10

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思路讲解

我们要先思考，正方形有多少个？
先从最简单的1*2的格子来看，正方形有2个，2*2的格子呢？是5个正方形。
再来看3*4的格子呢？你似乎会发现正方形的数量有某些规律。
显然，正方形的个数就是以点(i,j)为左上角，以(i+k,j+k)为右下角，(i+k<=n,j+k<=m)，的正方形数量

这样遍历一遍确实能解决，但是你再仔细观察，正方形的数量似乎与对角线有关，于是你重新从1*2的矩形看，一直看到3*4的矩形，你发现1*2的矩形是3*4的子集。
没错，你发现了，正方形的数量就是这个大矩形的对角线的xy的乘积并累加。

但是对角线并不是从左上到右下，而是图上这种对角线，这种正方形的对角线。
正方形数量就是1*2+2*3+3*4。
那么长方形呢？长方形我推了很长时间都没推出来，于是想到正难则反。
我们不推长方形，我们找所有的矩形，之后减去正方形的数量就是长方形的数量。
矩形数量就是(n+1)*n/2*(m+1)*m/2。减去正方形数量就是长方形数量。

题解代码

#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long
ll sq,l;
ll n,m;
int main(){
    cin>>n>>m;
    if(n>m){
        ll t=n;n=m;m=t;
    }
    for(ll i=1,j=m-n+1;i<=n,j<=m;i++,j++){
        sq+=(i*j);
    }
    l=(n+1)*n/2*(m+1)*m/2;
    cout<<sq<<" "<<l-sq;
}