树上启发式合并

考虑一个问题：我们如何维护一颗子树里面有多少个不同的颜色呢？

直观想法，如果可以离线，那我们可以通过dfs序把树上问题转换成为序列问题，从而将问题变成如何维护一段区间内有多少种不同的颜色。

也就是说，这个题用树上莫队可写。

但是回忆树上莫队的复杂度带了log有可能伤不起。

所以，我们采用玄学数据结构：树上启发式合并　Ｏ（nlogn）

这种数据结构多用于：１，无修改操作；２，只查询子树的答案。

算法基本思想：

运用到了树链剖分的思想，我们考虑轻重儿子。

我们先遍历一遍x结点轻儿子，同时维护轻儿子的各个结点的值。

在遍历一遍x结点重儿子；

最后在遍历一遍x结点轻儿子，将此次轻儿子所产生的影响和遍历重儿子所产生的影响合并。得到x的值。

树链处理代码：

void dfs1(int u, int fa) {
  size[u] = 1;
  for (int i = head[u]; i; i = tree[i].next) {
    int v = tree[i].v;
    if (v != fa) {
      dfs1(v, u);
      size[u] += size[v];
      if (size[v] > size[son[u]]) son[u] = v;
    }
  }
}

 下为求答案代码：

int dfs2(int u, int fa, bool keep, bool isson) {
  int tmp = 0;
  for (int i = head[u]; i; i = tree[i].next) {
    int v = tree[i].v;
    if (v != fa && v != son[u]) {
      dfs2(v, u, 0, 0);
    }
  }
  if (son[u]) tmp += dfs2(son[u], u, 1, 1);
  for (int i = head[u]; i; i = tree[i].next) {
    int v = tree[i].v;
    if (v != fa && v != son[u]) {
      tmp += dfs2(v, u, 1, 0);
    }
  }
  if (!check[color[u]]) {
    tmp++;
    check[color[u]] = 1;
  }
  if (!keep || isson) ans[u] = tmp;
  if (!keep) memset(check, 0, sizeof(check)), tmp = 0;
  return tmp;
}

 例题：https://codeforces.com/problemset/problem/600/E

本题属于无修改，查询子树，所以我们考虑树上启发式合并。

先遍历轻儿子，维护上面各个结点的值。

在遍历重儿子。最后重新遍历轻儿子。

#include"stdio.h"
#include"string.h"
#include"math.h"
#include"algorithm"
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 200010;

int head[N],ver[N * 4],Next[N * 4],tot;
int n,c[N];
int d[N],Size[N],son[N],far[N];
ll ans[N];int Son;
int cnt[N];
int max_sum;ll sum;

void add(int x,int y)
{
    ver[++ tot] = y; Next[tot] = head[x];
    head[x] = tot;
}
void dfs1(int x,int fa)
{
    Size[x] = 1; far[x] = fa;
    d[x] = d[fa] + 1;
    for(int i = head[x]; i; i = Next[i]){
        int y = ver[i];
        if(y == fa) continue;
        dfs1(y,x);
        Size[x] += Size[y];
        if(son[x] == 0 || Size[son[x]] < Size[y]){
            son[x] = y;
        }
    }
}

void add(int x,int fa,int val){
    cnt[c[x]] += val;
    if(cnt[c[x]] > max_sum){
        max_sum = cnt[c[x]];
        sum = c[x];
    } else if(max_sum == cnt[c[x]]){
        sum += c[x];
    }
    for(int i = head[x]; i; i = Next[i]){
        int y = ver[i];
        if(y == fa || y == Son) continue;
        add(y,x,val);
    }
}
void dfs2(int x,int fa,int op)
{
    for(int i = head[x]; i; i = Next[i]){
        int y = ver[i];
        if(y == fa || y == son[x]) continue;
        dfs2(y,x,0);
    }
    if(son[x]){
        dfs2(son[x],x,1);
        Son = son[x];
    }
    add(x,fa,1);///将其子树除重儿子外的结点所产生的影响进行添加维护。重儿子的影响已经在dfs中保存了下来
    ans[x] = sum;
    Son = 0;
    if(op == 0){
        add(x,fa,-1);///如果op==0 证明是轻儿子遍历过来的，所以在得到了当前结点的值之后，要把这次的操作影响进行删除
        sum = 0; max_sum = 0;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%d",&c[i]);
    for(int i = 1; i < n; i ++)
    {
        int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y); add(y,x);
    }
    dfs1(1,1);
    dfs2(1,1,0);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        if(i == 1) printf("%lld",ans[i]);
    else printf(" %lld",ans[i]);
    printf("\n");
}