6.1 线性代数

\({\Large 约定}\)：

1. 用集合符号表示位运算符号，用 $ \oplus $ 表示异或，特别的，$ i \in S$ 表示二进制数 \(S\) 的第 \(i\) 位为 \(1\)
2. 用 \(V\) 表示值域，\(\sum\) 表示字符集，\(\omega\) 表示 bitset 的常数 \((\omega = 64)\)
3. 除去用 \(()/[]\) 表示开闭区间外，\([]\) 仅表示艾弗森约定，\(\{\}\) 仅表示集合,括号嵌套全用 \(()\)
4. 字符串或序列角标为区间表示对应区间的子串

一些名词。

群，环，域

	群	阿贝尔群	环	域
运算	\(\circ\)	\(\circ\)	\((+,\cdotp)\)	\((+,\cdotp)\)
定律	结合律	结合律 交换律	加法：阿贝尔群 乘法：半群 加乘：分配律	法：阿贝尔群 乘法：阿贝尔群（除 \(0\) 元外） 加乘：分配律
单位元	\(e\)	\(0\)	加法：\(0\) 乘法：（不一定）	加法：\(0\) 乘法：\(1\)
逆元	\(a^{-1}\)	\(-a\)	加法：\(-a\) 乘法：（不一定）	加法：\(-a\) 乘法：\(a^{-1}\)

群、环、域均满足封闭性。

1.1.1 线性空间

定义：
设 \(V\) 为一集合，\(F\) 为一 数域\(^{[1]}\)，在集合 \(V\) 上定义两种封闭的运算：

• 加法 \(+\)：\(V\times V\to V\)；
• 数乘 \(\cdotp\) ：\(F\times V\to V\)。
  这两种运算满足性质：
• 加法交换律：\(\forall u,v\in V,u+v=v+u\)；
• 加法结合律：\(\forall u,v,w\in V,(u+v)+w=u+(v+w)\)；
• 加法单位元：\(\exists 0\in V\)，满足 \(\forall v\in V,v+0=v\)，\(0\) 称为加法单位元；
  （加法单位元是与任一元素做加法运算都返回那个元素本身的元素，又称为零元素，记作 \(0\)；尽管符号相同，注意不要将零元素与实数 \(0\) 混淆，在一般的线性空间中它们不一定相等，可从上下文区分它们）
• 加法逆元：\(\forall v\in V,\exists w\in V\)，使得 \(v+w=0\)，\(w\) 称为 \(v\) 的加法逆元；
  （每个元素 \(v\) 的加法逆元记作 \(-v\)，把一个负号写在 \(v\) 的前面）
• 数乘结合律：\(\forall v\in V,\forall a,b\in F,(ab)v=a(bv)\)；
• 数乘单位元：\(\forall v\in V,1v=v\)，即 \(1\) 是数乘单位元。
  （数域 \(F\) 中的 \(1\) 与 \(V\) 中任一元素数乘都得其本身）
• 分配律1：\(\forall a,b\in F,\forall v\in V,(a+b)v=av+bv\)
• 分配律2：\(\forall a\in F,\forall u,v\in V,a(u+v)=au+av\)
  则称集合 \(V\) 按所定义的加法和数乘构成数域 \(F\) 上的线性空间，又称向量空间。
  只包含零元素这一个元素的集合 \(\lbrace 0\rbrace\) 是一个子空间，也是最小的线性空间。

定义向量：
线性空间里的元素称为向量。

参考文献

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注释：
1. 数域：
定义：设 \(P\)是由一些复数组成的集合，其中包括 \(0\) 与 \(1\)，如果 \(P\) 中任意两个数（可以相同）的和、差、积、商（除数不为 \(0\)）仍是 \(P\) 中的数，则称 \(P\) 为一个数域。
显然，全体有理数，全体实数，全体复数分别组成的集合都是一个数域，我们分别记为 \(\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\)。
数域的定义可以不强调0和1，可以用非空替代，但用0和1更方便。

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