快速幂模板

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【倍增思想】快速幂（模板）

解法一：暴力循环      会超时

解法二：利用倍增 + 二进制
a^1 = a           ------1
a^2 = a^1 * a^1   ------2
a^4 = a^2 * a^2   ------4
a^8 = a^4 * a^4   ------8
a^16 = a^8 * a^8  ------16
a^32 = a^16 * a^16
倍增思想的本质：把指数拆成二进制
     任何整数 b 都可以拆成2 的幂次之和（二进制分解），比如：b=10 → 二进制 1010 → 10 = 8 + 2 = 2³ + 2¹因此 a^10 = a^(8+2) = a^8 * a^2（同底数幂相乘，指数相加）。
     结合你列的倍增公式：
     a^2 = a^1 * a^1（算 1 次）
     a^4 = a^2 * a^2（算 1 次）
     a^8 = a^4 * a^4（算 1 次）
     计算 a^10 只需算 a^2 * a^8，总共只需要 3 次倍增 + 1 次乘法，而暴力需要 10 次乘法。
3. 二进制分解的通用规则
     对任意指数 b：
     把 b 转成二进制，每一位对应「是否需要乘上当前的倍增项」；
     遍历 b 的二进制位，从低位到高位：
     如果当前位是 1，就把当前的倍增项乘到结果里；
     不管当前位是不是 1，都让倍增项自己倍增（a = a*a），对应二进制位权升级（2⁰→2¹→2²…）；
     b 右移一位（b = b/2），处理下一位。


***核心逻辑：把指数拆成二进制，遍历二进制的每一位：如果是 1，就把当前的倍增项乘到结果里；
不管是不是 1，都让倍增项自己乘自己（翻倍），直到指数拆完。


取模运算的规则：
1.当计算过程中，只有“加法”和“乘法”时，取模可以放在任意的位置
            (a * b * c * d) % p = (a % p * b % p * c % p * d % p) % p = ((a * b % p * c) % p * d) % p
2.当计算过程中，存在“减法”时，结果是可能出现负数的，此时如果需要补正，就需要“模加模”的技巧来补正
            (a - b) % p   ==  ((a - b) % p + p) % p
3.当计算过程中，存在“除法”的时候，取模是会造成结果错误的
            解决：求逆元
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#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

LL qpow(LL a, LL b, LL p){
    LL ret = 1; // 初始化结果为1（任何数的0次方是1，乘法的起点）
    while(b){   // 等价于 while(b > 0)，指数b未拆完就继续循环
        // 步骤1：判断b的二进制最后一位是否为1（b&1是位运算，效率极高）
        if(b & 1) ret = ret * a % p; 
        // 步骤2：底数倍增（a = a^2），并取模避免溢出
        a = a * a % p;
        // 步骤3：b右移一位（等价于b = b / 2），去掉最后一位，处理下一位
        b >>= 1;
    }
    return ret; // 返回最终结果 (a^b) % p
}

int main(){
    LL a, b, p;
    cin >> a >> b >> p;
    printf("%lld^%lld mod %lld=%lld", a, b, p, qpow(a, b, p));
    return 0;
}