【hdu4035】Maze
Solution
讲道理不是很懂为啥概d那么喜欢走迷宫qwq
（推式子推的很爽的一题？）
首先大力dp列式子
用\(f[i]\)表示从\(i\)到离开的期望步数，\(du[i]\)表示\(i\)点的度数，那么可以得到：
\[f[i]=e_i* 0+k_i* f[1]+\frac{1-e_i-k_i}{du[i]}\sum(f[u]+1)
\]
其中\(u\)是\(i\)的儿子
稍微整理一下，对于叶子节点和普通节点我们可以分别得到这样的两条式子：
\[\begin{aligned}
&叶子：f[i]=k_i*f[1]+(1-e_i-k_i)*f[fa(i)]+(1-e_i-k_i)\\
\\
&普通：f[i]=k_i*f[1]+\frac{1-e_i-k_i}{du[i]}*f[fa(i)]+\frac{1-e_i-k_i}{du[i]}*\sum f[u]+(1-e_i-k_i)\\
\end{aligned}
\]
考虑从下往上推，那么将\(f[u]\)看成常数的话，其实我们可以将\(f[i]\)表达为\(A_i*f[1]+B_i*f[fa(i)]+C_i\)这样的形式
这个时候看一下我们要求的答案，可以表示成：\(f[1]=A_1*f[1]+B_1*0+C_1\)
那也就是说，\(f[1]=\frac{C_1}{1-A_1}\)
那。。所以其实到最后根本不需要求出所有的\(f\)值只要知道系数我们就可以直接把答案求出来了（大快人心事！）
那剩下的就是要想办法把系数求出来
化简一下上面的\(f\)的表达式
我们发现\(\sum f[u]\)这个东西其实可以写成一个与\(f[i]\)相关的表达式（因为\(fa(u)=i\)），也就是：
\[\begin{aligned}
\sum f[u]&=\sum A_u*f[1]+B_u*f[i]+C_u
\end{aligned}
\]
把这个式子带到上面普通节点的\(f\)值的表达式里面去，把跟\(f[i]\)有关的放一边，其他放另一边：
\[\begin{aligned}
f[i]&=k_i*f[1]+\frac{1-e_i-k_i}{du[i]}*f[fa(i)]+\frac{1-e_i-k_i}{du[i]}*(f[1]*\sum A_u+f[i]*\sum B_u+\sum C_u)\\
\\
(1-\frac{1-e_i-k_i}{du[i]}*\sum B_u)*f[i]&=(k_i+\frac{1-e_i-k_i}{du[i]}*\sum A_u)*f[1]+\frac{1-e_i-k_i}{du[i]}*f[fa(i)]+\frac{1-e_i-k_i}{du[i]}*(\sum C_u+du[i])
\end{aligned}
\]
然后我们就可以得出\(、、A、B、C\)这三个系数的表达式啦
\[\begin{aligned}
叶子：&A_i=k_i\\
&B_i=1-e_i-k_i\\
&C_i=1-e_i-k_i\\
\\
普通：&A_i=(k_i+\frac{1-e_i-k_i}{du[i]}*\sum A_u)/(1-\frac{1-e_i-k_i}{du[i]}*\sum B_u)\\
&B_i=\frac{1-e_i-k_i}{du[i]}/(1-\frac{1-e_i-k_i}{du[i]}*\sum B_u)\\
&C_i=\frac{1-e_i-k_i}{du[i]}*(\sum C_u+du[i])/(1-\frac{1-e_i-k_i}{du[i]}*\sum B_u)\\
\end{aligned}
\]
看上去长得。。挺丑。。但是！
得出了这个式子之后我们就可以从下往上将所有的系数求出来了
然后就做完了
那么无解是什么情况呢？应该就是在中间计算过程中，如果有哪一步算的时候除以\(0\)了就是无解了，中间算的时候判断一下就好了
代码大概长这个样子
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MAXN=1e4+10;
const double eps=1e-9;
struct xxx{
int y,nxt;
}a[MAXN*2];
int h[MAXN],du[MAXN];
double A[MAXN],B[MAXN],C[MAXN],k[MAXN],e[MAXN];
int n,m,tot,T;
void add(int x,int y);
bool dfs(int fa,int x);
void init();
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.in","r",stdin);
#endif
int x,y;
double ans;
scanf("%d",&T);
for (int o=1;o<=T;++o){
printf("Case %d: ",o);
scanf("%d",&n);
init();
for (int i=1;i<n;++i){
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y); add(y,x);
++du[x]; ++du[y];
}
for (int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d%d\n",&x,&y);
k[i]=1.0*x/100.0;
e[i]=1.0*y/100.0;
}
if (dfs(0,1)){
if (fabs(1-A[1])<=eps) printf("impossible\n");
else
printf("%.6lf\n",C[1]/(1.0-A[1]));
}
else
printf("impossible\n");
}
}
void init(){
tot=0;
memset(h,-1,sizeof(h));
memset(du,0,sizeof(du));
}
void add(int x,int y){
a[++tot].y=y; a[tot].nxt=h[x]; h[x]=tot;
}
bool dfs(int fa,int x){
int u,son=0;
double sum=0;
A[x]=k[x]; B[x]=(1.0-e[x]-k[x])/(1.0*du[x]); C[x]=du[x];
for (int i=h[x];i!=-1;i=a[i].nxt){
u=a[i].y;
if (u==fa) continue;
++son;
if (!dfs(x,u)) return false;
C[x]+=C[u];
A[x]+=(1.0-e[x]-k[x])/(1.0*du[x])*A[u];
sum+=B[u];
}
if (son==0){
A[x]=k[x]; B[x]=1.0-e[x]-k[x]; C[x]=1.0-k[x]-e[x];
}
else{
C[x]*=(1-e[x]-k[x])/(1.0*du[x]);
sum*=(1.0-e[x]-k[x])/(1.0*du[x]);
sum=1.0-sum;
if (fabs(sum)<eps) return false;
A[x]/=sum;
B[x]/=sum;
C[x]/=sum;
}
return true;
}
