P2877 [USACO07JAN]Cow School G 斜率优化+分数规划

题意：

一个人参加了 \(n\) 场考试，第 \(i\) 场满分为 \(p_i\)，其得分为 \(t_i\)。现在要删去其中 \(d\) 次考试的成绩，用剩下的总得分除以剩下的满分之和，作为其最终成绩。问对于哪些 \(d\) 而言，删除得分比(即 \(\frac{t_i}{p_i}\) )最小的 \(d\) 场得到的最终成绩不是最优的

范围&性质：\(1\le n\le 5\times 10^4,1\le p_i,t_i\le 4\times 10^4\)

分析：

首先这个式子长得很分数规划，但是按照正常分数规划的做法，复杂度是\(O(n^2\log n)\)的，直接去世

我们发现其实并不需要求出分数规划的答案，我们只需要知道选的数是不是最小的 \(d\) 个，那就按照正常分数规划的套路，求出所有的 \(t-rate\times p\) ，如果未选的最大值大于已选的最小值，那么该方案一定不是最优，所以问题就转化成了求前缀序列的最小值和后缀序列的最大值

由于 \(t-rate\times p\) 这种形式很斜率优化，且 \(rate\) 是单调的，能成为决策点的 \(p_i\) 也是单调的

• 证明：

对于 \(t_i-rate\times p_i<t_j-rate\times p_j\) 且 \(i<j\)

由于 \(\frac{t_i}{p_i}\le \frac{t_j}{p_j}\) 所以当 \(p_j>p_i\) 时存在 \(\frac{t_j-t_i}{p_j-p_i}>rate\) 即 \(j\) 可以成为决策点

然后我们就可以按照正常的斜率优化的做法解题，对于求已选的最小值可以用单调队列维护一个递增的序列，对于未选的最大值可以用单调栈维护递减的值

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace zzc
{
	inline int read()
	{
		int x=0,f=1;char ch=getchar();
		while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
		while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
		return x*f;
	}
	
	const int maxn = 5e4+5;
	int n,h,t,top,ans; 
	int q[maxn],sumt[maxn],sump[maxn],pos[maxn];
	double hig[maxn],low[maxn];
	
	struct node
	{
		int p,t;
		bool operator<(const node &b)const
		{
			return p*b.t<b.p*t;
		}
	}a[maxn];
	
	int up(int x,int y)
	{
		return (a[x].p-a[y].p);
	}
	
	int down(int x,int y)
	{
		return (a[x].t-a[y].t);
	}
	
	void work()
	{
		n=read();
		for(int i=1;i<=n;i++) a[i].t=read(),a[i].p=read();
		sort(a+1,a+n+1);
		for(int i=1;i<=n;i++) sumt[i]=sumt[i-1]+a[i].t,sump[i]=sump[i-1]+a[i].p;
		h=1;t=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			while(h<=t&&a[i].p>=a[q[t]].p) t--;
			while(h<t&&(long long)up(q[t-1],q[t])*down(q[t],i)>(long long)up(q[t],i)*down(q[t-1],q[t])) t--;
			q[++t]=i;
			while(h<t&&(long long)down(q[h],q[h+1])*sump[i]>(long long)up(q[h],q[h+1])*sumt[i]) h++;
			low[i]=a[q[h]].t-(double)sumt[i]/sump[i]*a[q[h]].p;
		}
		top=0;
		for(int i=n;i>=1;i--)
		{
			while(top&&a[i].p<=a[q[top]].p) top--;
			while(top>1&&(long long)down(i,q[top])*up(q[top],q[top-1])>(long long)up(i,q[top])*down(q[top],q[top-1])) top--;
			q[++top]=i;
			while(top>1&&(long long)down(q[top],q[top-1])*sump[i-1]<=(long long)up(q[top],q[top-1])*sumt[i-1]) top--;
			hig[i]=a[q[top]].t-(double)sumt[i-1]/sump[i-1]*a[q[top]].p;
		}
		for(int i=1;i<n;i++) if(hig[i+1]>low[i]) pos[++ans]=n-i;
		printf("%d\n",ans);
		for(int i=ans;i>=1;i--) printf("%d\n",pos[i]); 
	}

}

int main()
{
	zzc::work();
	return 0;
}