数据结构还债——时间复杂度与空间复杂度

时间复杂度

由于语句执行的次数就可以代表程序执行的时间，空间复杂度时间复杂度就是程序在执行过程中语句的执行次数

上面的方法中只有一条语句所以执行次数为1，所以我们可以看作执行时间T1(n) = 1.

上面的方法的语句中有4个语句，所以执行完的次数为4，则T2(n) = 4.

那么上面的方法中，执行了多少次呢，由于i < n所以一共执行了n次，则T3(n) = n.

上面的方法中i++变为了i = i + 0.5，因此整体执行次数也比之前的多了一倍，则T4(n) = 2n.

上面的方法中，循环中又嵌套了循环，每个循环执行n次，所以一共执行了n*n次，则
$$
T5(n) = n^2.
$$

上面的程序，i每次增加两倍，则需要的次数就变成了
$$
T6(n) = log^2n
$$

总结

• T1与T2这种类型，方法中有多少个句子就执行多少次的，可以认为时间复杂度都为O(n) = 1。因为都是常数，可以对这些常数进行简化，都看作1
• T3与T4这两种类型，方法中的句字由于循环或者其他结构导致执行了n次以上，也就是T(n) = n、T(n) = 2n或者T(n) = 2n + 3，这种类型的，一般将常数项与n的系数都进行简化，化简为O(n) = n
• T5中的执行次数为n^{2，诸如此类的还有n}2 + 1、3n^2 + n，这些类型都可以简化为O(n) = n^2
• T6与T5相似，可以将底数直接省略简化，则O(n) = logn

为什么简化？

时间复杂度只是一个大概的数字，并不是精确的，所以比如n和n + 1，1比n小很多很多，当n足够大的时候，1就可以忽略了，同理n^{2+3n中，3n与n}2，在n足够大的时候，都是可以忽略不计的

空间复杂度

与时间复杂度相似，也用O(n)表示，只不过时间复杂度衡量的不是执行次数，而是程序执行时所占用的内存空间

void Demo(){
    int i = 0;
}

上面这个程序中，仅为i申请了一个空间的内存

void Demo(){
    int i = 0;
    int j = 1;
    int m = 2;
}

上面这个程序中，为i、j、m一共申请了三个空间的内容，与时间复杂度相似，这种类型的空间复杂度为O(n) = 1

void Demo(int n){
    int[] arr = new int[n];
    for(int i = 0; i < n; i++){
        arr[i] = i;
    }
}

上面这个程序为给一个数组初始化的过程，且数组长度为n，则申请到了n个空间的内存，假如数组长度为2n，则就是2n个空间的内存，所以这种类型的空间复杂度O(n) = n.

时间复杂度的n^2、logn与时间复杂度类似，但不常用，因此不再举例

总结

• 空间复杂度与时间复杂度，除衡量的标准不一样，其计算方式，简化方式，都与时间复杂度一样
• 在有递归的方法中，因为要不停的递归创建方法栈空间，所以递归的时间复杂度至少为n
• 时间复杂度与空间复杂度很难两全，往往都是通过时间换空间，或者通过空间换时间