新的一种角表示法

新的一种角表示法

我发明了一种新的角表示法.

如何表示

首先我们可以知道 \(\angle\alpha\) 在必修一的定义里是一条射线. 那么这个射线会经过一些顶点.

我们取经过的第一个 \(x,y\in\Z\) 的点 \((x,y)\), 用有序数对 \(@(x,y)\) 表示这个角.

如果你发现对于第一个点 \((x,y)\) 有 \(\gcd(x,y)\ne1\), 那就说明你找错了, 请使用 \((\cfrac{x}{\gcd(x,y)},\cfrac{y}{\gcd(x,y)})\).

如果完全不经过整数点, 那么取 \(x=1\), 此时有 \(y\in\R\) 而不是 \(y\in\Z\).

这样表示一个角有许多好处.

三角函数

最显然的, \(\tan @(x,y)=\cfrac{y}{x}\).

于是我们使用简单的勾股定理就可以得到 \(\sin @(x,y)=\cfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\), \(\cos @(x,y)=\cfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\).

比较两个角的角度

有 \(\angle @(p,q)\) 和 \(\angle @(u,v)\), 我们只需要比较 \(\cfrac{q}{p}\) 和 \(\cfrac{v}{u}\) 就可以得到两个角的大小关系了.

这其实是比较了 \(\angle @(p,q)\) 和 \(\angle @(u,v)\) 在 \(x=1\) 时的 \(y\) 的大小关系.

和角公式

这里为了方便, 我们暂时不考虑 \(\gcd(x,y)=1\) 的最简形式, 你算出来和角公式之后再找最简也一样.

有 \(\angle @(p,q)\) 和 \(\angle @(u,v)\), 于是 \(@(p,q)+@(u,v)=@(pu-qv,pv+qu)\).

\(\tan(@(p,q)+@(u,v))=\cfrac{\tan @(p,q)+\tan @(u,v)}{1-(\tan @(p,q))(\tan @(u,v))}=\tan @(pu-qv,pv+qu)\).

下面我们用 \(|\vec{(p,q)}|\) 表示三角形 \(\triangle(0,0)(p,0)(p,q)\) 斜边 \((0,0)(p,q)\) 的长度.

\(\sin(@(p,q)+@(u,v))=(\sin @(p,q))(\cos @(u,v))+(\cos @(p,q))(\sin @(u,v))=\cfrac{pv+qu}{|\vec{(p,q)}||\vec{(u,v)}|}\).

\(\cos(@(p,q)+@(u,v))=(\cos @(p,q))(\cos @(u,v))-(\sin @(p,q))(\sin @(u,v))=\cfrac{pu-qv}{|\vec{(p,q)}||\vec{(u,v)}|}\).