Hello World

这个是标题,但是为什么要有标题

这个是子标题,但是为什么要有子标题

使用动态规划求解旅行商问题

  旅行商问题是np问题,在集合表示那里用set去实现效率很很低,而且要保存的数都是不重复的比较小的整数,所以这里用二进制串表示集合。比如集合{1,3,5,6,7}表示成二进制串用1110101,其中集合里面有的数对应的位数写成1,没有的写成0。要判断第3位是不是1,就把 1110101右移(3-1)位,得到11101,然后结果和00001进行 & 运算,如果结果是1说明第3位是1,否则说明第3位是0。

  推广一下,对于数字x,要看它的第i位是不是1,那么可以通过判断布尔表达式 (((x >> (i - 1) ) & 1) == 1的真值来实现。

  对于下面这个测试用例,图和邻接矩阵如下,不能走的话用-1表示,实际存储的时候用一个比较大的数字,比如0x7ffff:

 

 

  要使用动态规划,需要问题本身有最优子结构,我们需要找到要解决的问题的子问题。

  题目要求,从0出发,经过[1,2,3]这几个城市,然后回到0,使得花费最少。要实现这个要求,需要从下面三个实现方案中选择花费最少的方案。

    1、 从0出发,到1,然后再从1出发,经过[2,3]这几个城市,然后回到0,使得花费最少。

    2、 从0出发,到2,然后再从2出发,经过[1,3]这几个城市,然后回到0,使得花费最少。

    3、 从0出发,到3,然后再从3出发,经过[1,2]这几个城市,然后回到0,使得花费最少。

  可以发现,三个小的解决方案的最优解,构成了大的解决方案,所以这个问题具有最优子结构,可以用动态规划来实现。

  设置一个二维的动态规划表dp,定义符号{1,2,3}表示经过[1,2,3]这几个城市,然后回到0。

  那么题目就是求dp[0][{1,2,3}]。将{1,2,3}表示成二进制,就是111,对应10进制的7,所以题目是在求dp[0][7];

  要求三个方案的最小值意味:

    dp[0][{1,2,3}] = min{ C01+dp[1][{2,3}] ,C02+dp[2][{1,3}] ,C03+dp[3][{1,2}]}

    其中C01 表示从0出发到1的距离。

    dp[1][{2,3}] = min{ C12+dp[2][{3}] ,C13+dp[3][{1}]}

    dp[2][{3}] = C23+dp[3][{}]

    dp[3][{}]就是从3出发,不经过任何城市,回到0的花费,所以dp[3][{}] = C30

 

  先确定一下dp表的大小,有n个城市,从0开始编号,那么dp表的行数就是n,列数就是2^(n-1),即1 << (n – 1),集合{1,2,3}的子集个数。在求解的时候,第一列的值对应这从邻接矩阵可以导出,后面的列可以有前面的列和邻接矩阵导出。所以求出的动态规划表就是:

 


 

j = 0  第一轮

for(int i =0;i <n;i++){                      
    dp[i][0] = C[i][0];                        
}

  第二轮

j = 1;       //可以把j带入
for(int i = 0;i < n;i++){
    dp[i][j] = C[i][1]+dp[1][0]
}

  后面的规律比较麻烦的一点在于要集合和二进制转换,观察发现:

    dp[2][5] 表示从2出发,通过{1,3},最后回到起点。那么:

    dp[2][5] = min{C21 + dp[1][{3}],C23 + dp[3][{1}]} = min{C21 + dp[1][4],C23 + dp[3][1]} ;

    从2出发,要去{1,3}。

    先看去1的路,去了1集合{1,3}中只剩下{3} ,{3}对应4,所以要求的dp表就是dp[1][4],这个4可以通过(101) ^ (1)得到,(1) = 1<<(1-1)

    再看去2的路,5 = 101的第二位是0,所以不能去2。判断第二位为1,用(5>>(2-1)) &1==1。而且也由于从2出发,就更不能去了。

    最后看去3的路,去了3集合{1,3}中只剩下{1},{1}对应这1,所以要求的dp表就是dp[3][1],1通过(101) ^ (100)得到。(100) = 1<<(3-1)

 

    同样求dp[0][7] = min{C01 + dp[1][6], C02+ dp[2][5], C03 + dp[3][3]}

    从0出发,要去{1,2,3}

    先看去1的路,去1然后去6 = {2,3},6通过(111) ^ (1)得到,(1) = 1<<(1-1)

    再看去2的路,去2然后去5 = {1,3},5通过(111) ^ (10)得到。(10) = 1<<(2-1)

    最后看去3的路,去3然后去3 = {1,2},3通过(111) ^ (100)得到。(100) = 1<<(3-1)

 

    还要注意,求dp[2][3]的时候。就是求从2出发,经过{1,2},显然不合理,在dp表中应为-1。对于这种情况,只用判断数字3的二进制位的第2位是不是1,是1就表示不合理。

 

  根据以上的推导,最后求dp表的算法就是:

for(int j = 1;j < 1 << (n - 1);j++){        
    for(int  i= 0;i < n;i++){               
        dp[i][j] = 0x7ffff;
        if(((j >> (i - 1)) & 1) == 1){          
            continue;   
        }   
        for(int k = 1;k < n;k++){       
            if(((j >> (k - 1)) & 1) == 0){
                continue;                           
            }
            if(dp[i][j] > C[i][k] + dp[k][j ^ (1 << (k - 1))]){
                dp[i][j] = C[i][k] + dp[k][j ^ (1 << (k - 1))];
            }
        }
    }
}

  最终程序的返回值就是dp表左上角的那个数字return dp[0][(1<<(cityCount - 1)) - 1];

  一个完整运行的例子是:

public class TravelingSalesman {
    public static void main(String[] args) {
        int cityCount = 4;
        int[][] roadInfo = new int[][]{
             {0, 1, 10},
             {1, 0, 10},
             {1, 3, 25},
             {3, 1, 25},
             {3, 2, 30},
             {2, 3, 30},
             {0, 2, 15},
             {2, 0, 15},
             {1, 2, 35},
             {2, 1, 35}
        };
        
        int roadmap[][] = new int[cityCount][cityCount];        //转成邻接矩阵方便取数
        int dp[][] = new int [cityCount][1 << (cityCount - 1)];
        for(int i = 0;i < cityCount;i++){
            for(int j = 0;j < cityCount;j++){    
                roadmap[i][j] = 0x7ffff;                        //用0x7ffff表示无穷大
            }
        }
        for(int i = 0;i < roadInfo.length;i++){                 //邻接矩阵
            roadmap[roadInfo[i][0]][roadInfo[i][1]] = roadInfo[i][2];
        }

        for(int i =0;i <cityCount;i++){                          //先求dp表第一列
            dp[i][0] = roadmap[i][0];                            //求出了每个城市回到起点的距离了。
        }
                                                
        for(int j = 1;j < 1 << (cityCount - 1);j++){             //再求其他列
            for(int  i= 0;i < cityCount;i++){                    //从i出发,要去包含j = {010101}的    城市
                dp[i][j] = 0x7ffff;
                if(((j >> (i - 1)) & 1) == 1){                   //如果已经到过j了,就continue
                    continue;    
                }    
                for(int k = 1;k < cityCount;k++){                 //看能不能先到k城市
                    if(((j >> (k - 1)) & 1) == 0){
                        continue;                                 //不能先到k城市,continue;
                    }
                    if(dp[i][j] > roadmap[i][k] + dp[k][j ^ (1 << (k - 1))]){
                        dp[i][j] = roadmap[i][k] + dp[k][j ^ (1 << (k - 1))];
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[0][(1<<(cityCount - 1)) - 1]);
    }
}

  若要显示dp表,可以在求出dp表以后加上一下代码:

System.out.printf("%10d",0);
for(int j = 0;j < 1 << (cityCount - 1) ;j++){
    System.out.printf("%10d",j);
}
System.out.println();
for(int i = 0;i < cityCount;i++){
    System.out.printf("%10d",i);
    for(int j = 0;j < 1 << (cityCount - 1) ;j++){
        if(dp[i][j] == 0x7ffff) dp[i][j] = -1;
        System.out.printf("%10d",dp[i][j]);
    }
    System.out.println();
}

  本文章纯原创,转载请注明出处:http://www.cnblogs.com/youmuchen/

posted on 2017-05-19 17:32  swuxyj  阅读(27308)  评论(4编辑  收藏

导航

统计信息

Hello World