[杂谈] 日报 D28

不知不觉已经停课一个月了啊 .

好摆烂 , 好麻木 , 似乎已经对自己在做什么失去了实感 . 但是不这样的话就抑制不住地悲观 , 不如就这样麻木下去吧 .

本来想改核桃和梦熊的题的 , 但是感觉有点艰难 , 那就来刷 CF 吧 .

CF2023A

很有趣的一个题 .

考虑两个 pair 之间的大小关系可能有 \(AABB,ABAB,ABBA\) 三种 . 前两种 \(A\) 在前面更优 , 后一种 \(A,B\) 在前面都可以 .

这可以让我们联想到经典问题 : 给若干个字符串 , 找出一个顺序连在一起 , 最大化字典序 . 在那道题是直接以两个字符串正反相接两种情况哪种字典序大作为比较依据来 sort . 这样做可行是因为这样构成全序 , 所以可以容易地 sort .

然而这里 \(ABBA\) 的情况使得我们的比较不具有反对称性 , 即这种情况下不同的 \(A\) 和 \(B\) 之间顺序可能不确定 , 但是仍然有可能有其它的组 , 使得它与 \(B\) 有严格的前后关系 , 比如 \(ACBCBA\) . 然而在 \(A\) 与 \(C\) 之间都没有明确关系的情况下 , 可能会使得排序在一个不优的状态结束 .

因此我们需要找出一个方便的全序关系 , 并且在这个关系下 \(AABB\) 与 \(ABAB\) 能得到正确的排序 . 可以发现只需按照 pair 两个元素之和排序即可 .

CF632C

大概是从上一题发散来的 . 这个题的结论属于人尽皆知了 , 不过仍然有必要讨论一下这个题 . 这道题的洛谷的题解区蠢得要命 , 仿佛这个答案是从地里长出来的 .

上面说的其实不是非常准确 , 即这个比较方式 , 如果按字符串完全相同作为相等关系 , 也不具有反对称性 , 例如 \(111\) 和 \(1111\) . 我们可以发现这种矛盾情况发生当且仅当串 \(a\) 和 \(b\) 长度不同 , 但是所有构成 \(a\) 和 \(b\) 的字符都是相同的 .

但是如果我们把等价类的定义扩充一下 , 令当串 \(a\) 和 \(b\) 长度不同 , 但是所有构成 \(a\) 和 \(b\) 的字符都是相同的的情况也代表了 \(a=b\) , 那么不同等价类之间比较时一定有反对称性 , 就有全序关系了 .

但是上题的问题是 , 如果类似地扩充等价类的定义 , 会出现同一个等价类中有 "可比性" 的元素 ( 比如 \(ACBCBA\) 中 \(B\) 和 \(C\) ) , 也就是破坏了自反性 , 因此直接比较的关系不够良定义 .

大战 B 题一上午无法战胜 . 好神秘啊这一套 . 被绿题创飞不可避 .

CF2023B

被绿题创飞是什么 NOi 前选手的必经过程吗 .

考虑枚举走到的最靠后的点 , 它前面除了用来向后跳的 , 全都可以通过不断前跳取到 . 所以要求的其实是一个最短路问题 , 找到跳到最后点的最短路 , 用前缀长度减即可 .

晕了 .

水题刷爽了 (并非) , 还是去改一下梦熊题吧 .