图论笔记

一般图

最小链覆盖/最小反链覆盖

Dilworth 定理

由于实际上是偏序集划分，所以是可重的链。

1、最小反链覆盖=最长链。

证明：

首先如果最长链的大小为 r，那么显然不可能有比 r 更小的最小反链覆盖（你这条链总得分成 r 份吧）。

关于恰好为 r 的构造，可以考虑分层图，每次取出最极小元，删去，然后递归，每一层构成一条反链。

2、最小链覆盖=最长反链。

证明：

同理如果最长反链的大小为 r，不可能有更小的最小链覆盖。

接下来考虑归纳构造。

n=1 时显然成立。

假如存在一个反链大小为 r 且不全是极大元或极小元，那么我们可以在这个反链这里做个分组，上面一组包含大于等于反链的所有元素，下面一组包含小于等于反链的所有元素，递归处理。

假如所有反链要么全是极大元，要么全是极小元，那么我们考虑抠掉一对有关系的极小元和极大元，那么可以考虑到剩下的元素的反链最大大小为 m-1（你不可能有别的没覆盖的点，否则反链就不一定全是极大元或最小元了），然后你再递归，分上面两种情况考虑就好了。

二分图

二分图匹配

下面的所有描述均有，对于二分图的两个部\(X\)、\(Y\)，\(|X|=n\)，\(|Y|=m\)，满足\(n \leq m\)

Hall 定理

如果满足二分图有完美匹配，则对于\(X\)中任意k个点，他们与\(Y\)连接的点的并集必然不少于k个。

挺显然的。（？）

转化：任意k个其实可以转化成对于所有子段均满足，因为不连续的也可以拆成多个子段。

然后通常来讲这个定理并非直接用的，而是利用这个思想来看看能不能用别的方式来维护。

例题：bzoj 2138 / XSY 3824 U.N.OWEN就是她吗？

↑主要是看到这个题目名字才去写的（

最大流=最小割

有些时候转化之后就有奇效，能够有良好的性质做 dp 什么的。

最大匹配、最小点覆盖、最大独立集

• 最大匹配不用多说

• 最小点覆盖：覆盖集：一个点集，满足任意一条边至少有一个端点是点集中的点；最小点覆盖=最大匹配（一正一反来证明）

• 最大独立集：独立集：一个点集，其中任意两点没有连边；一个独立集显然是一个覆盖集的补集；最大独立集=总点数-最小点覆盖=总点数-最大匹配

经典模型

• 若\(X\)或\(Y\)中任意一部，均有每一个点所连的点在另一部上编号连续（l~r），那么可以用堆简单维护：每次贪心选取r最小的。

例：XSY 3899 切割

平面图

平面图->对偶图

关于链覆盖

平面图的最大反链覆盖=对偶图上最长链。

证明：咕。