Python小白的数学建模课-09 微分方程模型


小白往往听到微分方程就觉得害怕,其实数学建模中的微分方程模型不仅没那么复杂,而且很容易写出高水平的数模论文。

本文介绍微分方程模型的建模与求解,通过常微分方程、常微分方程组、高阶常微分方程 3个案例手把手教你搞定微分方程。

通过二阶 RLC 电路问题,学习微分方程模型的建模、求解和讨论。

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1. 微分方程

1.1 基本概念

微分方程是描述系统的状态随时间和空间演化的数学工具。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题,如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题,很多可以用微分方程求解。微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域也有广泛应用。

具体来说,微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式。

  • 微分方程按自变量个数分为:只有一个自变量的常微分方程(Ordinary Differential Equations)和包含两个或两个以上独立变量的偏微分方程(Partial Differential Equations)。
  • 微分方程按阶数分为:一阶、二阶、高阶,微分方程的阶数取决于方程中最高次导数的阶数。
  • 微分方程还可以分为:(非)齐次,常(变)系数,(非)线性,初值问题/边界问题...

以上内容看看就算了,看多了就吓跑了。


1.2 微分方程的数学建模

微分方程的数学建模其实并不复杂,基本过程就是分析题目属于哪一类问题、可以选择什么微分方程模型,然后如何使用现有的微分方程模型建模。

在数学、力学、物理、化学等各个学科领域的课程中,针对该学科的各种问题都会建立适当的数学模型。在中学课程中,各学科的数学模型主要是线性或非线性方程,而在大学物理和各专业的课程中,越来越多地出现用微分方程描述的数学模型。

数学建模中的微分方程问题,通常还是这些专业课程中相对简单的模型,专业课程的教材在介绍一个模型时,往往都做了非常详细的讲解。只要搞清楚问题的类型、选择好数学模型,建模和求解并不是很难,而且在撰写论文时对问题背景、使用范围、假设条件、求解过程有大量现成的内容可以复制参考。

小白之所以害怕,一是看到微分方程就心里发怵,二是缺乏专业背景,不知道从哪里查资料、不能判断问题的类型、不知道选择什么模型、不善于从题目内容得出模型参数,也不知道如何编程求解。所以,老师说,一看这就是××问题,显然就可以用××模型。小白说,我们还是换 B题吧。

本系列将会从简单的微分方程模型入手,重点介绍微分方程数值解法的编程实现,并通过分析问题、建立模型的案例帮助小白树立信心和动力。

希望你在学习本系列之后,会发现微分方程模型是数学建模中最容易的题型:模型找教材,建模找例题,求解有例程,讨论有套路,论文够档次。


1.3 微分方程的数值解法

在学习专业课程时,经常会推导和求解微分方程的解析解,小白对微分方程模型的恐惧就是从高等数学“微分方程”开始,经过专业课的不断强化而形成的。实际上,只有很少的微分方程可以解析求解,大多数的微分方程只能采用数值方法进行求解。

微分方程的数值求解是先把时间和空间离散化,然后将微分化为差分,建立递推关系,然后反复进行迭代计算,得到任意时间和空间的值。

如果你还是觉得头晕目眩,我们可以说的更简单一些。建模就是把专业课教材上的公式抄下来,求解就是把公式的参数输入到 Python 函数中。

我们先说求解。求解常微分方程的基本方法,有欧拉法、龙格库塔法等,可以详见各种教材,撰写数模竞赛论文时还是可以抄几段的。本文沿用“编程方案”的概念,不涉及这些算法的具体内容,只探讨如何使用 Python 的工具包、库函数,零基础求解微分方程模型。

我们的选择是 Python 常用工具包三剑客:Scipy、Numpy 和 Matplotlib:

  • Scipy 是 Python 算法库和数学工具包,包括最优化、线性代数、积分、插值、特殊函数、傅里叶变换、信号和图像处理、常微分方程求解等模块。有人介绍 Scipy 就是 Python 语言的 Matlab,所以大部分数学建模问题都可以用它搞定。
  • Numpy 提供了高维数组的实现与计算的功能,如线性代数运算、傅里叶变换及随机数生成,另外还提供了与 C/C++ 等语言的集成工具。
  • Matplotlib 是可视化工具包,可以方便地绘制各种数据可视化图表,如折线图、散点图、直方图、条形图、箱形图、饼图、三维图,等等。

顺便说一句,还有一个 Python 符号运算工具包 SymPy,以解析方式求解积分、微分方程,也就是说给出的结果是微分方程的解析解表达式。很牛,但只能求解有解析解的微分方程,所以,你知道就可以了。



2. SciPy 求解常微分方程(组)

2.1 一阶常微分方程(组)模型

给定初始条件的一阶常微分方程(组)的标准形式是:

\[\begin{cases} \begin{aligned} &\frac{dy}{dt} = f(y,t)\\ &y(t_0) = y_0 \end{aligned} \end{cases} \]

式中的 y 在常微分方程中是标量,在常微分方程组中是数组向量。


2.2 scipy.integrate.odeint() 函数

SciPy 提供了两种方式求解常微分方程:基于 odeint 函数的 API 比较简单易学,基于 ode 类的面向对象的 API 更加灵活。

**scipy.integrate.odeint() **是求解微分方程的具体方法,通过数值积分来求解常微分方程组。在 odeint 函数内部使用 FORTRAN 库 odepack 中的 lsoda,可以求解一阶刚性系统和非刚性系统的初值问题。官网介绍详见: scipy.integrate.odeint — SciPy v1.6.3 Reference Guide

scipy.integrate.odeint(func, y0, t, args=(), Dfun=None, col_deriv=0, full_output=0, ml=None, mu=None, rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0, hmax=0.0, hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0, mxhnil=0, mxordn=12, mxords=5, printmessg=0, tfirst=False)

odeint 的主要参数:

求解标准形式的微分方程(组)主要使用前三个参数:

  • func: callable(y, t, …)   导数函数 \(f(y,t)\) ,即 y 在 t 处的导数,以函数的形式表示
  • y0: array:  初始条件 \(y_0\),对于常微分方程组 \(y_0\) 则为数组向量
  • t: array:  求解函数值对应的时间点的序列。序列的第一个元素是与初始条件 \(y_0\) 对应的初始时间 \(t_0\);时间序列必须是单调递增或单调递减的,允许重复值。

其它参数简介如下:

  • args: 向导数函数 func 传递参数。当导数函数 \(f(y,t,p1,p2,..)\) 包括可变参数 p1,p2.. 时,通过 args =(p1,p2,..) 可以将参数p1,p2.. 传递给导数函数 func。argus 的用法参见 2.4 中的实例2。

  • Dfun: func 的雅可比矩阵,行优先。如果 Dfun 未给出,则算法自动推导。

  • col_deriv: 自动推导 Dfun的方式。

  • printmessg: 布尔值。控制是否打印收敛信息。

  • 其它参数用于控制求解算法的参数,一般情况可以忽略。

odeint 的主要返回值:

  • y: array   数组,形状为 (len(t),len(y0),给出时间序列 t 中每个时刻的 y 值。


3. 实例1:Scipy 求解一阶常微分方程

3.1 例题 1:求微分方程的数值解

\[\begin{cases} \begin{aligned} &\frac{dy}{dt} = sin(t^2)\\ &y(-10) = 1 \end{aligned} \end{cases} \]


3.2 常微分方程的编程步骤

以该题为例讲解 scipy.integrate.odeint() 求解常微分方程初值问题的步骤:

  1. 导入 scipy、numpy、matplotlib 包;

  2. 定义导数函数 \(f(y,t)=sin(t^2)\)

  3. 定义初值 \(y_0\)\(y\) 的定义区间 \([t_0,\ t]\)

  4. 调用 odeint() 求 \(y\) 在定义区间 \([t_0,\ t]\) 的数值解。


3.3 Python 例程

# 1. 求解微分方程初值问题(scipy.integrate.odeint)
from scipy.integrate import odeint  # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def dy_dt(y, t):  # 定义函数 f(y,t)
    return np.sin(t**2)

y0 = [1]  # y0 = 1 也可以
t = np.arange(-10,10,0.01)  # (start,stop,step)
y = odeint(dy_dt, y0, t)  # 求解微分方程初值问题

# 绘图
plt.plot(t, y)
plt.title("scipy.integrate.odeint")
plt.show()

3.4 Python 例程运行结果



4. 实例2:Scipy 求解一阶常微分方程组

4.1 例题 2:求洛伦兹(Lorenz)方程的数值解

洛伦兹(Lorenz)混沌吸引子的轨迹可以由如下的 3个微分方程描述:

\[\begin{cases} \begin{aligned} &\frac{dx}{dt} = \sigma (y-x)\\ &\frac{dy}{dt} = x (\rho-z) - y\\ &\frac{dz}{dt} = xy - \beta z\\ \end{aligned} \end{cases} \]

洛伦兹方程将大气流体运动的强度 x 与水平和垂直方向的温度变化 y 和 z 联系起来,进行大气对流系统的模拟,现已广泛应用于天气预报、空气污染和全球气候变化的研究。参数 \(\sigma\) 称为普兰特数,\(\rho\) 是规范化的瑞利数,\(\beta\) 和几何形状相关。洛伦兹方程是非线性微分方程组,无法求出解析解,只能使用数值方法求解。


4.2 洛伦兹(Lorenz)方程问题的编程步骤

以该题为例讲解 scipy.integrate.odeint() 求解常微分方程初值问题的步骤:

  1. 导入 scipy、numpy、matplotlib 包;

  2. 定义导数函数 lorenz(W, t, p, r, b)

    注意 odeint() 函数中定义导数函数的标准形式是 \(f(y,t)\) ,对于微分方程组 y 表示向量。

    为避免混淆,我们记为 \(W=[x,y,z]\),函数 lorenz(W,t) 定义导数函数 \(f(W,t)\)

    用 p,r,b 分别表示方程中的参数 \(\sigma、\rho、\beta\),则对导数定义函数编程如下:

# 导数函数,求 W=[x,y,z] 点的导数 dW/dt
def lorenz(W,t,p,r,b):
    x, y, z = W  # W=[x,y,z]
    dx_dt = p*(y-x)  # dx/dt = p*(y-x), p: sigma
    dy_dt = x*(r-z) - y  # dy/dt = x*(r-z)-y, r:rho
    dz_dt = x*y - b*z  # dz/dt = x*y - b*z, b;beta
    return np.array([dx_dt,dy_dt,dz_dt])
  1. 定义初值 \(W_0\)\(W\) 的定义区间 \([t_0,\ t]\)

  2. 调用 odeint() 求 \(W\) 在定义区间 \([t_0,\ t]\) 的数值解。

    注意例程中通过 args=paras 或 args = (10.0,28.0,3.0) 将参数 (p,r,b) 传递给导数函数 lorenz(W,t,p,r,b)。参数 (p,r,b) 当然也可以不作为函数参数传递,而是在导数函数 lorenz() 中直接设置。但例程的参数传递方法,使导数函数结构清晰、更为通用。另外,对于可变参数问题,使用这种参数传递方式就非常方便。


4.3 洛伦兹(Lorenz)方程问题 Python 例程

# 2. 求解微分方程组初值问题(scipy.integrate.odeint)
from scipy.integrate import odeint    # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 导数函数, 求 W=[x,y,z] 点的导数 dW/dt
def lorenz(W,t,p,r,b):  # by youcans
    x, y, z = W  # W=[x,y,z]
    dx_dt = p*(y-x)  # dx/dt = p*(y-x), p: sigma
    dy_dt = x*(r-z) - y  # dy/dt = x*(r-z)-y, r:rho
    dz_dt = x*y - b*z  # dz/dt = x*y - b*z, b;beta
    return np.array([dx_dt,dy_dt,dz_dt])

t = np.arange(0, 30, 0.01)  # 创建时间点 (start,stop,step)
paras = (10.0, 28.0, 3.0)  # 设置 Lorenz 方程中的参数 (p,r,b)

# 调用ode对lorenz进行求解, 用两个不同的初始值 W1、W2 分别求解
W1 = (0.0, 1.00, 0.0)  # 定义初值为 W1
track1 = odeint(lorenz, W1, t, args=(10.0, 28.0, 3.0))  # args 设置导数函数的参数
W2 = (0.0, 1.01, 0.0)  # 定义初值为 W2
track2 = odeint(lorenz, W2, t, args=paras)  # 通过 paras 传递导数函数的参数

# 绘图
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.plot(track1[:,0], track1[:,1], track1[:,2], color='magenta') # 绘制轨迹 1
ax.plot(track2[:,0], track2[:,1], track2[:,2], color='deepskyblue') # 绘制轨迹 2
ax.set_title("Lorenz attractor by scipy.integrate.odeint")
plt.show()

4.4 洛伦兹(Lorenz)方程问题 Python 例程运行结果



5. 实例3:Scipy 求解高阶常微分方程

高阶常微分方程,必须做变量替换,化为一阶微分方程组,再用 odeint 求数值解。

5.1 例题 3:求二阶 RLC 振荡电路的数值解

零输入响应的 RLC 振荡电路可以由如下的二阶微分方程描述:

\[\begin{cases} \begin{aligned} &\frac{d^2 u}{dt^2} + \frac{R}{L} * \frac{du}{dt} + \frac{1}{LC}*u = 0\\ &u(0) = U_0\\ &u'(0)= 0 \end{aligned} \end{cases} \]

令 $ \alpha = R/2L\(、\)\omega_0^2=1/LC$,在零输入响应 \(u_s=0\) 时上式可以写成:

\[\begin{cases} \begin{aligned} &\frac{d^2 u}{dt^2} + 2 \alpha \frac{du}{dt} + \omega_0^2 u = 0\\ &u(0) = U_0\\ &u'(0)= 0 \end{aligned} \end{cases} \]

对二阶微分方程问题,引入变量 \(v = {du}/{dt}\),通过变量替换就把原方程化为如下的微分方程组:

\[\begin{cases} \begin{aligned} &\frac{du}{dt} = v \\ &\frac{dv}{dt} = -2\alpha v - \omega_0^2 u\\ &u(0)=U_0\\ &v(0)=0 \end{aligned} \end{cases} \]

这样就可以用上节求解微分方程组的方法来求解高阶微分方程问题。


5.2 二阶微分方程问题的编程步骤

以RLC 振荡电路为例讲解 scipy.integrate.odeint() 求解高阶常微分方程初值问题的步骤:

  1. 导入 scipy、numpy、matplotlib 包;

  2. 定义导数函数 deriv(Y, t, a, w)

    注意 odeint() 函数中定义导数函数的标准形式是 \(f(y,t)\) ,本问题中 y 表示向量,记为 \(Y=[u,v]\)

    导数定义函数 deriv(Y, t, a, w) 编程如下,其中 a, w 分别表示方程中的参数 \(\alpha、\omega\)

# 导数函数,求 Y=[u,v] 点的导数 dY/dt
def deriv(Y, t, a, w):
    u, v = Y  # Y=[u,v]
    dY_dt = [v, -2*a*v-w*w*u]
    return dY_dt
  1. 定义初值 \(Y_0=[u_0,v_0]\)\(Y\) 的定义区间 \([t_0,\ t]\)

  2. 调用 odeint() 求 \(Y=[u,v]\) 在定义区间 \([t_0,\ t]\) 的数值解。

    例程中通过 args=paras 将参数 (a,w) 传递给导数函数 deriv(Y, t, a, w) 。本例要考察不同参数对结果的影响,这种参数传递方法使用非常方便。


5.3 二阶微分方程问题 Python 例程

# 3. 求解二阶微分方程初值问题(scipy.integrate.odeint)
# Second ODE by scipy.integrate.odeint
from scipy.integrate import odeint  # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 导数函数,求 Y=[u,v] 点的导数 dY/dt
def deriv(Y, t, a, w):
    u, v = Y  # Y=[u,v]
    dY_dt = [v, -2*a*v-w*w*u]
    return dY_dt

t = np.arange(0, 20, 0.01)  # 创建时间点 (start,stop,step)
# 设置导数函数中的参数 (a, w)
paras1 = (1, 0.6)  # 过阻尼:a^2 - w^2 > 0
paras2 = (1, 1)  # 临界阻尼:a^2 - w^2 = 0
paras3 = (0.3, 1)  # 欠阻尼:a^2 - w^2 < 0

# 调用ode对进行求解, 用两个不同的初始值 W1、W2 分别求解
Y0 = (1.0, 0.0)  # 定义初值为 Y0=[u0,v0]
Y1 = odeint(deriv, Y0, t, args=paras1)  # args 设置导数函数的参数
Y2 = odeint(deriv, Y0, t, args=paras2)  # args 设置导数函数的参数
Y3 = odeint(deriv, Y0, t, args=paras3)  # args 设置导数函数的参数
# W2 = (0.0, 1.01, 0.0)  # 定义初值为 W2
# track2 = odeint(lorenz, W2, t, args=paras)  # 通过 paras 传递导数函数的参数

# 绘图
plt.plot(t, Y1[:, 0], 'r-', label='u1(t)')
plt.plot(t, Y2[:, 0], 'b-', label='u2(t)')
plt.plot(t, Y3[:, 0], 'g-', label='u3(t)')
plt.plot(t, Y1[:, 1], 'r:', label='v1(t)')
plt.plot(t, Y2[:, 1], 'b:', label='v2(t)')
plt.plot(t, Y3[:, 1], 'g:', label='v3(t)')
plt.axis([0, 20, -0.8, 1.2])
plt.legend(loc='best')
plt.title("Second ODE by scipy.integrate.odeint")
plt.show()

5.4 二阶方程问题 Python 例程运行结果

结果讨论:

RLC串联电路是典型的二阶系统,在零输入条件下根据 \(\alpha\)\(\omega\) 的关系,电路的输出响应存在四种情况:

  1. 过阻尼: \(\alpha^2 - \omega^2>0\) ,有 2 个不相等的负实数根;
  2. 临界阻尼: \(\alpha^2 - \omega^2 = 0\),有 2 个相等的负实数根;
  3. 欠阻尼: \(\alpha^2 - \omega^2 <0\),有一对共轭复数根;
  4. 无阻尼:\(R=0\),有一对纯虚根。

例程中所选择的 3 组参数分别对应过阻尼、临界阻尼和欠阻尼的条件,微分方程的数值结果很好地体现了不同情况的相应曲线。



6. 小结

  1. 小白首先要有信心,用 Scipy 工具包求解标准形式的微分方程(组),编程实现是非常简单、容易掌握的。
  2. 其次要认识到,由于微分方程的解的特性是与模型参数密切相关的,不同参数的解可能具有完全不同的形态。这就涉及模型稳定性、灵敏度的分析,很容易使论文写的非常丰富和精彩。
  3. 不会从问题建立微分方程模型怎么办,不会展开参数对稳定性、灵敏度的影响进行讨论怎么办?谁让你自己做呢,当然是先去找相关专业的教材、论文,从中选择比较接近、比较简单的理论和模型,然后通过各种假设强行将题目简化为模型中的条件,这就可以照猫画虎了。

【本节完】


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posted @ 2021-06-21 14:03  youcans  阅读(1001)  评论(8编辑  收藏  举报