CF938G-动态连通图最短xor路（线段树分治、并查集、线性基）
link:https://codeforces.com/contest/938/problem/G
[!Description]
有一张连通的无向图简单图，三种操作：
- 1、加边\((x,y,d)\)
- 2、删边\((x,y)\)
- 3、询问 \(x\to y\) 的路径中异或最小的路径（不一定是简单路径）
- 保证每次操作后图是连通的
\(1\leq n,m,q\leq 2\times 10^5\).
这题应该可以说是几个算法的大融合，问题很明显比离线的动态图连通性要强，所以基本需要用到线段树分治+并查集，而最小异或则是并查集…
正常分析的话先看3询问，无向图xor最大/最小的路径问题非常经典（之前在另一题里遇到过：https://zhuanlan.zhihu.com/p/577244669），把每个简单环的异或和找出来，插入到线性基里，然后找到一条 \(x\to y\) 的通路的边权，和线性基里的元素找最小值。
那么如何找到一条任意的 \(x\to y\) 的通路呢？就是用xor的性质，带权并查集维护每个点到（并查集上）父节点的边权，按秩合并+路径压缩的并查集可以做到 \(O(\log n)\) 的时间内查询两个点间某条路径的异或和（换成别的可没这么好的性质了），对于删边和加边操作则用线段树分治解决，时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\) ：
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define endl '\n'
#define fastio ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define dbg(x) cout<<#x"="<<x<<' '
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
typedef tuple<int,int,int> piii;
const int N=2e5+5;
int n,m,q,ans[N];
pii tag[N];
map<pii,pii> lst;
struct DSU{
int fa[N],sz[N],weight[N],block;
void init(int n){rep(i,1,n)fa[i]=i,sz[i]=1;block=n;}
pii find(int x){
if(fa[x]==x)return {x,0};
auto [f,d]=find(fa[x]);
return {f,d^weight[x]};
}
int merge(int x,int y,int w){
auto [fx,dx]=find(x);
auto [fy,dy]=find(y);
if(sz[fx]<sz[fy])swap(fx,fy);
fa[fy]=fx;
weight[fy]=(w^dx^dy);
sz[fx]+=sz[fy];
block--;
return fy;
}
void del(int x){
if(fa[x]==x)return;
sz[fa[x]]-=sz[x];
weight[x]=0;
fa[x]=x;
block++;
}
}dsu;
struct XorBasis{
int v[30];
XorBasis(){memset(v,0,sizeof(v));}
void insert(int x){
for(int i=29;i>=0;i--)if(x>>i&1){
if(v[i])x^=v[i];
else{
v[i]=x;
return;
}
}
}
int work(int w){
for(int i=29;i>=0;i--)if(w>>i&1)w^=v[i];
return w;
}
};
namespace Seg{
#define ls (node<<1)
#define rs (node<<1|1)
stack<pii> S;
vector<piii> tr[N<<2];
void insert(int node,int l,int r,int ql,int qr,const piii &v){
if(ql<=l&&r<=qr){
tr[node].push_back(v);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(mid>=ql)insert(ls,l,mid,ql,qr,v);
if(mid+1<=qr)insert(rs,mid+1,r,ql,qr,v);
}
void solve(int node,int l,int r,XorBasis lst){
XorBasis base=lst;
for(auto [x,y,w]:tr[node]){
auto [fx,dx]=dsu.find(x);
auto [fy,dy]=dsu.find(y);
if(fx==fy)base.insert(w^dx^dy);
else S.push({node,dsu.merge(x,y,w)});
}
if(l==r){
auto [x,y]=tag[l];
if(x){
int d=(dsu.find(x).second^dsu.find(y).second);
ans[l]=base.work(d);
}
}else{
int mid=(l+r)>>1;
solve(ls,l,mid,base);
solve(rs,mid+1,r,base);
}
while(!S.empty()&&S.top().first==node){
dsu.del(S.top().second);
S.pop();
}
}
};
int main(){
fastio;
cin>>n>>m;
dsu.init(n);
rep(i,1,m){
int x,y,d;
cin>>x>>y>>d;
if(x>y)swap(x,y);
lst[{x,y}]={0,d};
}
cin>>q;
rep(i,1,q){
int type,x,y,d;
cin>>type>>x>>y;
if(x>y)swap(x,y);
if(type==1){
cin>>d;
lst[{x,y}]={i,d};
}else if(type==2){
Seg::insert(1,0,q,lst[{x,y}].first,i-1,{x,y,lst[{x,y}].second});
lst.erase({x,y});
}else tag[i]={x,y};
}
for(auto [fi,se]:lst){
auto [x,y]=fi;auto [t,w]=se;
Seg::insert(1,0,q,t,q,{x,y,w});
}
XorBasis base;
Seg::solve(1,0,q,base);
rep(i,1,q)if(tag[i].first)cout<<ans[i]<<endl;
return 0;
}
