青岛oj集训4

Dijkstra算法——单源最短路

1. 算法流程（O(m+n^2)）

1）把dis[1（起点）]=0，dis[……]=inf

2）从一号点向每条出边做松弛，更新dis，把1打标记

3）从未被打标记的点中选出dis最小的点，向所有临边（未被打标记）做松弛，更新dis（共执行n轮）

（性质：当一个点被打上标记时，最终最短路已经被完全确定）

（证明：因为这个点必须要是当时dis最小的点，那么任何其他点的dis+正边权就要大于这个点的dis）

（所以dijk只能在正权图里跑）

 2.优化（O（m log m））->如果遇到稠密图，m变成n^2级别，会比不优化还慢

每一轮都要暴力枚举每个点以找到最小的点，太暴力

所以要快速维护出未被标记且dis最小的点

所以要使用优先队列

使用大根堆倒着存（小根堆也行）

由于代码用的是vector存图，然后还要存点和边权

所以vector开的是一个node（struct）类型

但是无论大根堆还是小根堆都要用到小于号

小于号没法比较你自己定义的struct的

所以要对小于号进行重定义，即让它变成比较两个node相比较

所以要在struct里面进行重定义

看下面的代码，可以翻译成中文：

如果一个node小于另一个名为a的node（你要是写成名为a的int也行，不过这题要用大根堆，小于号比较的两端都是node），代表的含义是：

这个node的len参数要大于a的len参数。

为啥是大于呢？

首先这里是大根堆反着用

大根堆会把优先级高的数放在前面

大根堆有个反常性质：如果一个数小于另一个数,那么它会认为后边的优先级更高（更小）

所以一个node小于另一个名为a的node，就是一个node优先级低于a

他以为a更大，因为a的优先级更高

所以他会把a往上放

我们不这样想啊，我们想把len小的往上放

所以当a往上放时，我们希望a.len更小

所以代表的含义是：

这个node的len参数要大于a的len参数。

3.次短路与k短路

记录dis[i][j],表示i点的第j+1短的路径

更新到一个新的路径值