前缀和以及差分

前言

在写CCF的202109-2题目时，我们宿舍的一位大佬教我怎么使用差分算法来解那道题，可是在他教了我两遍之后，我还是不能理解。然后今天去问了老师，老师跟我说他并没有听说过什么差分！呜呜呜，我当场就懵逼了，老师也给我讲解了一下他的看法，但是我还是不能明白。就在刚刚，我又想了一想，好像突然之间开窍了，好像就理解了，所以我把那题目写了之后，我就接着想把我的理解写出来了，我怕以后我又忘了，又不能理解了，废话不多说了，开始吧！

先讲什么是前缀和

前缀和，就是这个数字及其前面的数的和，也就是 Sm=a[0]+a[1]+a[2]+···+a[i],（a[0]=0,下面b,c同样如此）我们把Sm叫做a[i]的前缀和，然后用一个数组来存储前缀和的话这个数组就叫前缀和数组，例如：
b[i]=a[0]+a[1]+a[2]+···+a[i]

再讲差分

差分就是两数之差，a[i]-a[i-1]，就叫做a[i]的差分，同样，也会有一个差分数组，c[i]=a[i]-a[i-1]

差分数组的性质

性质一：我们不难发现，差分数组的前缀和就是原数组在当前位置的具体值，你看：
c[1]=a[1]-a[0]
c[2]=a[2]-a[1]
···
c[i]=a[i]-a[i-1]
所以，sum=c[1]+c[2]+···+c[i]=a[i]-a[0]=a[i]
性质二：（不懂怎么表述）*****
我们先给一个数组吧
a[ ]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
现在我要对[2,7]范围内的元素都进行+5的操作。那我们当然可以一个一个加，但是这样太麻烦了，我们可以用差分数组来进行操作。设b为a的差分数组，则
b[ ]={0,1,1,1,1,1,1,1,1,1};
我们对下标为[2,7]的元素都加上5，那么对于2到7的元素来说，他们的差分是不会变的，因为大家都加了5，也就是说，+5这个操作影响的是范围内的值与范围外的值的差分，也就是影响的是临界的时候的差分。
所以，只需对差分数组b[2]+5即可，进行前缀和操作时，2以后的数都会+5,但是我们只是想在[2,7]这个范围+5,并不想影响到下标7以后的数，所以，我们执行b[8]-5，这时，求前缀和的时候7以后的数还和原来一样不受影响。
处理后的差分数组：
b[ ]={0,1,6,1,1,1,1,1,-4,1};
求前缀和：
a[ ]={0,1,7,8,9,10,11,8,9};
你看，这不就相当于对下标[2,7]的数都加上了5嘛！

所以，当我们要对一个范围内的数全体加上或减去某个值时，我们可以对它的差分数组进行操作。具体操作就是：

void add(int l, int r,int n) {
    diff[l]+n, diff[r+1]-n;//l为下界，r为上界
}

再来一次，对下标为[1,5]的数全体+1，这时执行

add(1,5,1);

这时：
b[ ]={0,2,6,1,1,1,0,1,-4,1};
a[ ]={0,2,8,9,10,11,11,8,9};
同样的，无论我们执行多少次操作，我们只要对差分数组进行操作即可，最后再对差分数组求前缀和就能得出最后的结果。这个就是第二个性质。

以CCF-CSP202109-2为例讲解

题目详细见下面的博文
https://www.cnblogs.com/yongcheng137blogs/p/15396599.html

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6;
int dif[N], a[N];
int n;
void add(int l, int r) { dif[l]++, dif[r + 1]--; }
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (a[i - 1] < a[i]) {
            add(a[i - 1] + 1, a[i]);
        }
    }
    int maxn = 0, pre = 0;
    for (int p = 1; p < 1e4; p++) {
        pre += dif[p];
        maxn = max(maxn, pre);
    }
    cout << maxn;
    return 0;
}

当a[i]>a[i-1]时，当p取到这两个数之间的值时，这里会出现一个非零段，也就是非零段加1，这是不是我们上面所说的对一个范围+某个值？这时候我们执行add(a[i-1]+1,a[i])的意思就是，当p取a[i-1]+1到a[i]这些值的时候，非零段会+1；然后我遍历数组，对满足条件的数同样进行上面的差分操作，也就是

if (a[i - 1] < a[i]) {
            add(a[i - 1] + 1, a[i]);
            }
            

到了最后，我们求dif的前缀和pre=dif[0]+dif[1]+···+dif[p]，这样就可以直接求得dif的最终状态，也就是pre就是当取值为p时的非零段个数。
pre += dif[p];

然后题目要求求出最大的非零段，用maxn记录最大值即可。

CCF-CSP例题补充解释

如果a[i-1]<a[i],这意味这什么？

意味着当我的p取到这个范围内的值的时候，非零段会+1

那如果我开一个很大的数组sum，他的下标表示p的取值，它的内容表示当p取得的值是它的下标时我的非零段个数

那是不是说，上述的这个范围里的值都要进行+1的操作，那这是不是对一个范围内的数都进行+1操作，是不是可以运用差分数组来解决了？那么sum的数组是不是就是dif的前缀和，但是题目并没有要求输出每个p时的非零段个数，那么我就没有必要开一个数组了，就用一个pre来表示dif的前缀和。