kmp算法

什么是kmp算法？

kmp算法适用于解决模式匹配问题的一个优化的算法，一般是解决字符串匹配的问题。解决字符串匹配问题还有一种算法，那就是BF算法，也就是暴力破解法，但是BF算法比较耗时间，每一次不匹配时都，母串要回溯到开始匹配时的下一个位置，字串要回溯到开始位置，最坏的时间复杂度是O(n·m)。但是，有一些字符串是有一定规律的，就比如下面这个字符串一样:

当在f这个字符不匹配时，我们会发现，我们可以直接将字串的指针直接移到d的位置，为什么呢？因为f的前面有abc，而刚好d前面也有abc，这表明，在母串上面，已经有一串abc和字串匹配过了，那么，我子串就没有必要在把前面那一截abc在比较一次了。这样子就减少了比较的次数了，从而达到优化的效果。kmp算法就是实现，当当前字符不匹配时，我的指针直接跳到像上面f->d的效果，从而实现优化。

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所以，KMP算法适用于解决那些前后都有相同字段的字符串的匹配问题。
按照上面的思路，字符串T[0] ~ T[k-1]=T[j-k-1] ~ T[j-1]，这时，我们把T[0] ~ T[k-1]叫作j的前缀，T[j-k-1] ~ T[j-1]叫作j的后缀。也就是说，kmp算法适用于有前缀和后缀的字符串的。

如果T[j]和母串不匹配时，我们要执行的操作是：j=k，也就是j的前缀的下一位，现在，我们做一个这样的数组next，就用来存放当T[j]不匹配时j要走的下一个位置。
然后，我们的问题就转化为了怎么求next数组，也就是说，如果在T[0] ~ T[j-1]的字符中，有T[0] ~ T[k-1]=T[j-k-1] ~ T[j-1]的，那我们就把k存放到next[j]中，这样子当j不匹配时，我们就可以直接跳到k的位置了。那么现在问题就转化为求next数组了。

求next数组

我们用两个指针k和j对模式串进行遍历，如果，k和j所指的内容相等，我们就把指针都前移，那么这时候，k的大小（+1之后才是）就表示着当前j指针前的字符串的前缀的长度，也就是当j不匹配时，j将要走的位置。上面这句话在代码中实现如下：

if(sub[k]==sub[j])
{
	j++,k++;
	Next[j]=k;
}

那如果k和j所指的的容不相等呢？此时分为以下两种情况：

1. k=0，此时，j只能往前走
2. k≠0,此时，k已经往前走了，但是现在不匹配了，也就是说，当前j的前缀已经达到最大，不会再增大了，对于往后的字符，就会有新的前后缀了。那么此时k是不是要从头开始呢，如果k前的字符串没有前后缀的话，确实是这样的。如果有的话，事实上我们把k移到Next[k]就好了。这个过程和子串和母串匹配的过程是一样的。下面给个例子：
   
   k和j不匹配了，那么j的前缀长度（即k的大小+1）又要从小变大了，也就是k要回退。这时，发现k的前缀:agc 和j前面的agc相同，那么我们把k移到T[3]的位置，即相当于前面的acg已经匹配了。在看，上述情况中，Next[k]=3,这不就巧了吗！事实上这不是巧合，这个就是像子串和母串不匹配时的情况是一样的。下面给出以上两种情况的代码：

if(k>0&&sub[k]!=sub[j]
{
	k=Next[k];
}
else if(k==0)
{
	j++;
}

所以，Next数组就算求完了。给出完整代码：

int Next[100] = {0};
void getNext(string sub)
{
    int k = 0;
    int j = 1;
    int slen = sub.length();
    while (j < slen)
    {
        if (sub[k] == sub[j])
        {
            j++, k++;
            Next[j] = k;
        }
        else if (k > 0 && sub[k] != sub[j])
        {
            k = Next[k];
        }
        else if (k == 0)
        {
            j++;
        }
    }
}

Next数组优化

事实上，上面的的情况时可以优化的。
我们把k=0和k>0时匹配的情况整合起来可以这么做：我们把k的起始值设为-1，然后把Next[0]=-1;先上代码：

int Next[100] = {0};
void getNext(string str) {
    int k = -1;
    int j = 0;
    Next[0] = -1;
    int len = str.length();
    while (j < len) {
        if (k == -1 || str[k] == str[j]) {
            k++;
            j++;
            Next[j] = k;
        } else {
            k = Next[k];
        }
    }
}

为什么可以这样？
我们可以发现，k=0时不匹配以及k!=0时匹配，j都要向前进的。
我们把k=-1，Next[0]=-1。刚开始是，k=-1,两个往前走，k=0;j=1;
这样子我们就把k=0的情况整合到k，j匹配的情况一同进行了，从而简化代码。

kmp算法实现

kmp算法最重要的就是求Next数组了，Next数组搞定了，kmp也就实现了，这里直接给代码了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int Next[100] = {0};
void getNext(string str) {
    int k = -1;
    int j = 0;
    Next[0] = -1;
    int len = str.length();
    while (j < len) {
        if (k == -1 || str[k] == str[j]) {
            k++;
            j++;
            Next[j] = k;
        } else {
            k = Next[k];
        }
    }
}
int kmp(string momstr, string substr) {
    int mlen = momstr.length();
    int slen = substr.length();
    int i = 0, j = 0;
    getNext(substr);
    while (i < mlen && j < slen) {
        if (j == -1 || momstr[i] == substr[j]) {
            i++, j++;
        } else {
            j = Next[j];
        }
    }
    if (j == slen)
        return i - j + 1;
    else
        return -1;
}
int main() {
    string momstr, substr;
    cin >> momstr >> substr;
    cout << kmp(momstr, substr);
    return 0;
}

到此为止，kmp算法就算讲完了。以上内容仅仅是个人的理解，若有什么不妥当的地方恳请大佬指正！

参考资料

详解kmp算法
印度小哥的KMP算法讲解(字幕版)-转自Youtube