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摘要： 图的顶点集可以划分为两个互不相交的子集，使得图中的每条边的两个顶点分属不同集合。 等价于： 图中所有的环都必须有偶数个顶点，即不存在奇数长度的环。 1 dfs染色 color = [-1] * n def dfs(x, c): color[x] = c for y in g[x]: if color 阅读全文

摘要： 1. 网络流 有向图 G=(V,E)，其与一般有向图的不同之处在于有容量（即边权）和源点、汇点。 1.1 Ford–Fulkerson G上一条从源点 s 到汇点 t 的路径称为增广路（Augmenting Path）。对于一条增广路，我们给每一条边(u, v) 都加上等量的流量，以令整个网络的流量 阅读全文

摘要： 1. 强连通分量 强连通的定义是：有向图G中任意两个结点连通。强连通分量（Strongly Connected Components，SCC）是极大的强连通子图。 2. tarjan Tarjan 算法基于对图进行\(DFS\)。我们视每个连通分量为搜索树中的一棵子树，在搜索过程中，维护一个栈，每次 阅读全文

摘要： 1 欧拉图 欧拉路径（Eulerian path）是经过图中每条边恰好一次的路径， 欧拉回路（Eulerian circuit）是经过图中每条边恰好一次的回路。 如果一个图中存在欧拉回路，则这个图被称为欧拉图（Eulerian graph）； 如果一个图中不存在欧拉回路但是存在欧拉路径，则这个图被称 阅读全文

摘要： 1 Kruskal算法 最小生成树： 树中的每个点都与其他节点连通，树中的边权和最小，因此\(n\)个节点的最小生成树有\(n-1\)条边。 思想: 其基本思想是按照边的权值大小进行排序，然后按照顺序选择边构建最小生成树，同时确保不会形成环路。由于堆所有边权进行排序，因此该算法适用于稀疏图（边的数量 阅读全文

摘要： 1 \(BFS\) 广度优先搜索：每次都尝试访问同一层的节点。 如果同一层都访问完了，再访问下一层。这样做的结果是，BFS 算法找到的路径是从起点开始的最短合法路径。换言之，这条路径所包含的边数最小。因此对于边权都为\(1\)的图，\(BFS\)可以用来计算最短路。 1.1 \(BFS\)应用 在一 阅读全文

摘要： OI-wiki 拓扑排序 Kahn（卡恩）算法 \(g[x]\)存点\(x\)的邻点，\(tp\)存拓扑序列，\(d[x]\)存点\(x\)的入度。算法的核心用队列维护一个入度为0的节点的集合。 初始化，队列\(q\)压入所有入度为\(0\)的点； 每次从\(q\)中取出一个点\(×\)放入数组\( 阅读全文

摘要： 思想 Hash 的核心思想在于，将输入映射到一个值域较小、可以方便比较的范围。 性质 具体来说，哈希函数最重要的性质可以概括为下面两条： 在 Hash 函数值不一样的时候，两个字符串一定不一样； 在 Hash 函数值一样的时候，两个字符串不一定一样（但有大概率一样，且我们当然希望它们总是一样的）。 阅读全文

摘要： 1.质数定义 我们这样定义质数：如果自然数$ p > 1 $的因数只有1和它本身，那么 $p $是质数。不是质数，就是合数。 质数有很多美妙的性质，比如： 如果一个数是质数，那么它是自然数。 如果一个数是质数，那么它不是合数。 如果一个数是质数，那么它大于等于2。 2.判断\(n\)是否为质数的方法 阅读全文

摘要： 1. 异或： 本质：在每个比特位上进行模\(2\)加法。相同为0，不同为1。 \[0 \oplus n = n \]\[n \oplus n = 0 \]2. 异或定理 \[4i \oplus (4i + 1) \oplus (4i + 2) \oplus (4i + 3) = 0 \]证明： 由于 阅读全文