搜索

搜索算法讲义

搜索是"有组织的枚举"：正解时它是完整算法，非正解时它是最可靠的部分分。本讲系统讲 DFS / BFS 的变体、剪枝的六种手法、迭代加深与 IDA、双向搜索与折半枚举、A、舞蹈链、随机化搜索，以及搜索复杂度的估计方法。
建议课时：4 课时。前置：递归、位运算、基本 DP、哈希表。

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0. 定位

为什么要学搜索：

1. 暴力。
2. 很多"正解"本身就是搜索加剪枝（数独、小木棍、斗地主）。
3. 折半枚举、IDA*、DLX 等是省选级别的正解工具。
4. 搜索写得快、对拍暴力也靠它。

搜索题的四个要素：状态是什么、从一个状态能到哪些状态（转移）、初始状态与目标、如何避免重复（判重 / 剪枝）。设计搜索先把这四个写清楚。

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1. 基本框架

1.1 DFS 与回溯

void dfs(int step, State& s) {
    if (finished(s)) { record(s); return; }
    for (auto choice : options(s)) {
        if (!feasible(s, choice)) continue;     // 可行性剪枝
        apply(s, choice);
        dfs(step + 1, s);
        undo(s, choice);                        // 回溯
    }
}

"做选择、递归、撤销选择"是回溯的三段式。用引用传状态 + 撤销，比每层复制状态快得多。

1.2 BFS

逐层扩展，第一次到达某状态时的步数就是最短步数（边权全为 1）。需要判重表。

1.3 记忆化搜索

状态的答案只依赖状态本身时，存下来。记忆化搜索 = 隐式图上的 DP，适合拓扑序不明显（如状态由多个不规则变量决定）或只需要访问部分状态的场合。

1.4 选择哪种

情况	选择
求最少步数、边权 1	BFS
求所有解、深度有限	DFS
深度很大但答案很浅	IDDFS / 双向 BFS
状态空间大，有好的估价	IDA* / A*
状态可枚举且有重叠子问题	记忆化
枚举 \(n \le 40\) 的子集	折半

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2. 剪枝六法

剪枝是搜索的核心。分六类，遇到题按顺序检查每一类能不能用。

2.1 可行性剪枝

当前状态已经不可能到达合法解，立即返回。尽早判断：能在选择时判断就不要在递归后判断。

例：拼木棍时剩余长度不够；数独填数时行列宫已有该数。

2.2 最优性剪枝

当前代价 + 剩余最少可能代价 \(\ge\) 已知最优解，返回。"剩余最少可能代价"是一个下界估计，估计越紧剪枝越强。这是 IDA* 的雏形。

例：TSP 中当前路径长 + 剩余点数 × 最小边权 \(\ge\) 最优。

2.3 排除等效冗余

多条搜索分支会到达本质相同的状态时只走一条。

• 组合而非排列：选集合时强制下标递增。
• 对称性：N 皇后第一行只枚举左半；正方体染色固定一个面。
• 相同元素：多个相同物品，只尝试第一个；同一层内，与上一次失败的选择相同的值不再尝试。

2.4 优化搜索顺序

先搜"更可能成功"或"约束更强"的分支：

• 从大到小放物品（大的更难放，早失败早剪枝）。
• 数独 / 约束满足：每次选候选值最少的格子（MRV 启发）。
• 求最优解时，先搜更优的方向，让最优性剪枝尽早生效。

2.5 记忆化

见 1.3。当状态能压缩（位运算、哈希）且重复出现时。

2.6 上界 / 下界估计

结合 2.2，预处理"从每个状态出发的最优可能"，如"剩余物品的价值总和"（背包）、"剩余层数的最小体积"（生日蛋糕）。

2.7 例题：[NOIP1997] 小木棍（洛谷 P1120）

\(n \le 65\) 根木棍拼成若干等长原木棍，求最小原长。

剪枝清单（每一条都对应上面一类）：

1. 原长在 \([\max a_i,\ \sum a_i / 2]\) 内枚举，且必须整除 \(\sum a_i\)（可行性）。
2. 木棍从大到小排序（搜索顺序）。
3. 拼当前原木棍时，从上一根用的位置之后开始（排除冗余：组合）。
4. 尝试失败的长度，跳过后面所有相同长度（排除冗余）。
5. 若当前原木棍是空的（刚开始拼）就失败，或者恰好拼满时失败，直接回溯到上一根（关键剪枝：这两种情况下换别的木棍也不可能成功，因为当前这根木棍总得被放在某根原木棍里，而现在的位置是等价的）。

bool dfs(int cnt, int cur, int last) {          // 已拼 cnt 根，当前拼到 cur，从 last 开始试
    if (cnt == total) return true;
    if (cur == len) return dfs(cnt + 1, 0, 1);
    int fail = 0;
    for (int i = last; i <= n; i++) {
        if (used[i] || cur + a[i] > len || a[i] == fail) continue;
        used[i] = true;
        if (dfs(cnt, cur + a[i], i + 1)) return true;
        used[i] = false;
        fail = a[i];
        if (cur == 0 || cur + a[i] == len) return false;   // 剪枝 5
    }
    return false;
}

2.8 例题：生日蛋糕（洛谷 P1731）

\(m\) 层蛋糕，体积 \(n\)，最小化表面积。剪枝：预处理最小体积 / 最小面积前缀；当前体积 + 剩余最小体积 \(> n\) 剪；当前面积 + 剩余最小面积 \(\ge\) 最优剪；剩余体积 \(V\) 能贡献的面积下界 \(\ge 2V / R\)（因为每层侧面积 \(2rh \ge 2rh\cdot r/R\)，\(V = \sum r^2h\)）。最后一条是"数学推出的紧下界"，是这题的精髓。

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3. 迭代加深与 IDA*

3.1 迭代加深（IDDFS）

限制 DFS 深度 \(d = 1, 2, 3, \dots\)，每次从头搜。适合：答案深度小但搜索树分支大、状态无法判重（BFS 存不下）。

代价：重复搜索浅层。但分支因子 \(b\) 时，总代价 \(\sum_{i\le d}b^i = O(b^d)\)，与最后一次同阶。

例：埃及分数（洛谷 P1763）。把 \(\frac{a}{b}\) 写成最少的不同单位分数之和。迭代加深枚举项数，第 \(k\) 项分母 \(x\) 的范围：$x > $ 上一项分母，且 \(\frac{\text{剩余项数}}{x} \ge \frac{a}{b}\)（否则剩下的加起来不够），即 \(x \le \frac{\text{剩余项数}\cdot b}{a}\)。

3.2 IDA*

迭代加深 + 估价函数 \(h\)：当前深度 \(g\) + 估价 $h > $ 深度限制时剪枝。要求 \(h \le\) 真实剩余步数（可采纳），否则可能剪掉最优解。

bool dfs(int g, int limit, State& s) {
    if (g + h(s) > limit) return false;
    if (isGoal(s)) return true;
    for (auto& nxt : moves(s)) { apply; if (dfs(g + 1, limit, s)) return true; undo; }
    return false;
}
for (int limit = h(start);; limit++) if (dfs(0, limit, start)) { answer = limit; break; }

估价函数的设计：把问题松弛（去掉某些约束），松弛后的最优解就是可采纳的 \(h\)。

问题	估价
15 数码	每块到目标的曼哈顿距离之和
骑士精神（P2324，棋子交换）	不在目标位置的棋子数（每步至多修正一个）
排书 Booksort（POJ 3460）	\(\lceil\text{错误后继数}/3\rceil\)（每次移动至多改 3 个后继关系）
魔板 / 魔方	错位块数 / 8 等

3.3 A*

BFS 版本的估价搜索：优先队列按 \(f = g + h\) 出队。

• \(h\) 可采纳 \(\Rightarrow\) 目标第一次出队时是最优。
• \(h\) 还满足一致性（\(h(u) \le w(u,v) + h(v)\)）\(\Rightarrow\) 每个状态第一次出队即最优，可以像 Dijkstra 一样标记已访问。否则同一状态可能多次出队，要允许重复。
• 第 \(k\) 短路：\(h\) = 到终点的最短路（反图 Dijkstra），终点第 \(k\) 次出队即第 \(k\) 短路。每个点最多出队 \(k\) 次。

A vs IDA：A 需要存所有状态（内存），IDA 不存但重复搜。状态能存下用 A，否则 IDA。

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4. BFS 变体

4.1 双向 BFS

从起点和终点同时扩展，交替扩展较小的那一层，相遇即得答案。分支 \(b\)、深度 \(d\) 时状态数从 \(b^d\) 降到 \(2b^{d/2}\)。

条件：终点明确、转移可逆（或能反向枚举前驱）。

[NOIP2002] 字串变换（P1032）：规则 \(\le 6\)，步数 \(\le 10\)，正向 \(6^{10}\) 太大，双向各 5 步。

4.2 0-1 BFS

边权只有 0 和 1：用双端队列，0 边的后继放队首，1 边放队尾。\(O(V + E)\)，比 Dijkstra 少一个 \(\log\)。

4.3 优先队列 BFS

= Dijkstra。状态搜索里带权转移时用。

4.4 多源 / 分层 BFS

多个起点同时入队（多源最短距离）；状态带一维"层"（如"已用的传送次数"、"携带的钥匙集合"），[NOI 网络流 24 题] 孤岛营救问题（P4011）：状态 \((x, y, \text{钥匙集合})\)。

4.5 判重

状态	判重方式
小整数 / 坐标	数组
排列（如八数码）	康托展开 \(O(n^2)\) 映射到 \([0, n!)\)
集合	状压位掩码
棋盘 / 大结构	哈希（Zobrist：每个位置每种取值一个随机数，异或）
任意	unordered_set<string> 或自定义哈希

康托展开：

ll cantor(int* a, int n) {                    // 排列 → 排名
    ll r = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int c = 0;
        for (int j = i + 1; j < n; j++) if (a[j] < a[i]) c++;
        r += c * fac[n - 1 - i];
    }
    return r;
}

逆康托展开：依次用 \(r / \text{fac}[n-1-i]\) 确定第 \(i\) 位是"剩余数中第几小"。

八数码（P1379）：\(9! = 362880\) 个状态，双向 BFS + 康托，或 A*（曼哈顿）。奇偶性判可达：把 0 去掉后逆序对奇偶性不变（\(3\times3\) 时）。

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5. 折半枚举（Meet in the Middle）

5.1 思想

\(n \le 40\) 的子集枚举 \(2^{40}\) 不可行。把元素分两半各 \(2^{20}\)，分别枚举出所有可能的"和"，然后用排序 + 双指针 / 二分 / 哈希把两半配对。\(O(2^{n/2}\cdot n)\)。

5.2 例题：[CEOI2015] 世界冰球锦标赛（P4799）

\(n \le 40\) 场比赛各有票价，预算 \(M\)，求可行的观看子集数。

vector<ll> A, B;
dfsHalf(0, n / 2, 0, A); dfsHalf(n / 2, n, 0, B);      // 各自所有子集和
sort(B.begin(), B.end());
ll ans = 0;
for (ll x : A) ans += upper_bound(B.begin(), B.end(), M - x) - B.begin();

5.3 例题：送礼物（AcWing 171 / 原题 NOI 导刊）

\(n \le 46\) 个物品，重量上限 \(W \le 2^{31}\)，求能装的最大重量。前半枚举所有和并排序去重，后半枚举时二分找最大的 \(\le W - \text{sum}\)。优化：让前半（要存并排序的那半）稍小（如 \(n/2 + 2\) 放后半），减少排序量。大的物品放前半，让前半的和分布更稀疏。

5.4 例题：[USACO12OPEN] Balanced Cow Subsets（P3067）

\(n \le 20\)，选非空子集分成两组和相等，求选法数。每个元素三种状态（不选 / 组 A / 组 B），\(3^{20}\) 太大，折半 \(3^{10}\)，两半按"A 和 − B 和"配对，再用位掩码去重。

5.5 折半 + 状态

折半不只用于"求和"。任何"两半独立、合并条件可以排序 / 哈希检查"的枚举都可以折半：4 个数组各取一个和为 0（\(n^2\) 对 \(n^2\)）、两段路径拼接、密码前后半。

5.6 双向搜索的一般形式

从初态和终态各搜一半深度，在中间用哈希表相遇。这是折半在"状态图"上的版本，4.1 的双向 BFS 是特例。

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6. 状态设计与位运算

6.1 状压

集合用整数位掩码；棋盘每行一个掩码。转移用位运算一次处理一行。

• 枚举子集：for (int T = S; T; T = (T - 1) & S)。
• 枚举所有集合的所有子集：总 \(3^n\)。
• lowbit：S & -S。
• 枚举大小为 \(k\) 的子集（Gosper's hack）：t = S & -S; r = S + t; S = (((r ^ S) >> 2) / t) | r。

6.2 位运算 N 皇后

void dfs(int row, int cols, int ld, int rd) {   // 三个掩码：列、左斜、右斜
    if (row == n) { ans++; return; }
    int avail = full & ~(cols | ld | rd);
    while (avail) {
        int p = avail & -avail; avail -= p;
        dfs(row + 1, cols | p, (ld | p) << 1, (rd | p) >> 1);
    }
}

\(n = 14\) 毫秒级。

6.3 "枚举最小未处理元素"技巧

覆盖类状压 DP / 搜索中，转移只考虑编号最小的未覆盖元素必须被哪个集合覆盖，避免同一状态从多个顺序到达。

[NOIP2016] 愤怒的小鸟（P2831）：预处理任意两猪确定的抛物线覆盖集合 \(\text{cov}[i][j]\)。\(f[S]\) 从 \(S\) 中最低的未覆盖猪 \(i\) 出发，枚举 \(j\) 或单独打 \(i\)。\(O(2^n n)\)。

6.4 Zobrist 哈希

每个 (位置, 值) 对一个 64 位随机数，状态哈希 = 所有对的异或。修改一个位置只需两次异或，\(O(1)\) 增量更新。用于棋盘类判重。

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7. 舞蹈链（DLX）

7.1 精确覆盖

\(0/1\) 矩阵，选若干行使每列恰有一个 1。数独、N 皇后、拼图都可建模成精确覆盖。

数独建模：\(729\) 行（格 × 数字），\(324\) 列：每格填一个数（81）、每行每数字一次（81）、每列每数字一次（81）、每宫每数字一次（81）。

7.2 十字链表与 Knuth's Algorithm X

每个 1 是一个节点，四向链接。选一列 \(c\)（元素最少的列）；枚举该列每个节点所在行 \(r\)；删除 \(r\) 覆盖的所有列（及这些列上的所有行）；递归；恢复。

int L[M], R[M], U[M], D[M], col[M], row[M], sz[M], head[N], ans[N], tot;
void init(int c) {
    for (int i = 0; i <= c; i++) L[i] = i - 1, R[i] = i + 1, U[i] = D[i] = i, sz[i] = 0;
    L[0] = c; R[c] = 0; tot = c; memset(head, 0, sizeof head);
}
void insert(int r, int c) {
    ++tot; col[tot] = c; row[tot] = r; sz[c]++;
    U[tot] = U[c]; D[tot] = c; D[U[c]] = tot; U[c] = tot;
    if (!head[r]) head[r] = L[tot] = R[tot] = tot;
    else { L[tot] = L[head[r]]; R[tot] = head[r]; R[L[head[r]]] = tot; L[head[r]] = tot; }
}
void remove(int c) {
    L[R[c]] = L[c]; R[L[c]] = R[c];
    for (int i = D[c]; i != c; i = D[i])
        for (int j = R[i]; j != i; j = R[j]) U[D[j]] = U[j], D[U[j]] = D[j], sz[col[j]]--;
}
void resume(int c) {
    for (int i = U[c]; i != c; i = U[i])
        for (int j = L[i]; j != i; j = L[j]) U[D[j]] = D[U[j]] = j, sz[col[j]]++;
    L[R[c]] = R[L[c]] = c;
}
bool dance(int dep) {
    if (R[0] == 0) return true;
    int c = R[0];
    for (int i = R[0]; i; i = R[i]) if (sz[i] < sz[c]) c = i;
    remove(c);
    for (int i = D[c]; i != c; i = D[i]) {
        ans[dep] = row[i];
        for (int j = R[i]; j != i; j = R[j]) remove(col[j]);
        if (dance(dep + 1)) return true;
        for (int j = L[i]; j != i; j = L[j]) resume(col[j]);
    }
    resume(c);
    return false;
}

恢复必须与删除严格逆序。模板：洛谷 P4929。

7.3 重复覆盖

每列至少一个 1（如 N 皇后的斜线列、[HNOI2006] 最短母串的字符集覆盖）。remove 只删该列本身（不删其他行），配合 IDA* 的估价（至少还需几行：贪心数"互不相交的未覆盖列"）。

7.4 数独的另一种写法

位运算 + MRV：每行、列、宫一个 9 位掩码，每次选候选最少的格子。对于普通数独比 DLX 更好写、速度相当。[NOIP2009] 靶形数独（P1074）求最优解，需要搜完所有解，MRV + 位运算是标准解。

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8. 随机化与局部搜索

8.1 模拟退火

double T = 1e4, dec = 0.985, eps = 1e-3;
State cur = init(); double curV = f(cur); best = curV;
while (T > eps) {
    State nxt = perturb(cur, T);                 // 扰动幅度与 T 成正比
    double nv = f(nxt), d = nv - curV;
    if (d < 0 || exp(-d / T) > rand01()) cur = nxt, curV = nv;   // 最小化
    best = min(best, curV);
    T *= dec;
}
// 卡时：while ((double)clock() / CLOCKS_PER_SEC < 0.8) SA();

调参：初温取解的量级，降温 \(0.97 \sim 0.999\)，多次重启。接受更差解的概率 \(e^{-\Delta/T}\) 是退火与爬山的唯一区别。

适用：解空间连续或"邻域"自然（交换两个元素、微调坐标）、目标函数容易计算、正解难写或不存在。

例题：P1337 [JSOI2004] 平衡点（物理上是势能最小，退火求坐标）、P2210 Haywire（排列扰动 = 交换）、P3878 [TJOI2010] 分金币（子集扰动 = 交换两组各一个）、P3959 [NOIP2017] 宝藏（随机化搜索也能过）。

8.2 爬山与随机重启

只接受更优解，快但易陷局部最优。随机多次初始化取最优。

8.3 随机化搜索顺序

DFS 时随机打乱分支顺序 + 卡时。对"存在性"问题（找一个解）常常极快，因为解分布在搜索树各处，随机顺序避免了系统性地先搜空分支。

8.4 随机化贪心

多次随机扰动输入顺序后贪心，取最优。例：随机顺序 Kruskal 求某些近似 MST 变体。

注意：这些方法不保证正确，比赛中作为"没有正解时的高分方案"或"验证正解的对拍工具"。

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9. 搜索复杂度的估计与工程

9.1 Knuth 估计法

随机走一条从根到叶的路径，在深度 \(i\) 处记录分支数 \(b_i\)，估计搜索树大小为 \(1 + b_1 + b_1b_2 + b_1b_2b_3 + \cdots\)。多次取平均。赛场上用它判断"暴搜能不能过"。

9.2 常见工程优化

• 状态用引用 + 撤销，不复制。
• 递归改手写栈（很少需要）。
• 位运算替代数组扫描（候选集合、行列占用）。
• 预处理转移表（如八数码的 0 的移动方向）。
• 剪枝判断放在循环里而不是递归入口（少一层函数调用）。
• inline、读入优化对搜索题帮助有限，剪枝才是关键。

9.3 搜索与 DP 的混合

• 记忆化搜索处理不规则拓扑（如状态是一个集合 + 一个位置）。
• 搜索枚举"结构"（如划分方案），每种结构内用 DP 算最优。
• DP 转移中嵌入搜索（转移候选很多但大部分可以剪枝）。

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10. 例题精讲

10.1 [NOIP2015] 斗地主（P2668）

思路：顺子（单顺、双顺、三顺）的选法影响最大，其余牌型（炸弹、三带、对子、单牌）可以贪心一次性算出。所以搜索只枚举顺子，每次搜索到叶子时用贪心计算剩余牌的最少出牌次数。剪枝：当前次数 \(\ge\) 最优。

教训：搜索的分支只放"真正需要决策"的部分，其余交给贪心 / DP。

10.2 [NOIP2004] 虫食算（P1092）

\(n\) 个字母代表 \(0..n-1\)，加法竖式。搜索顺序：从最低位开始、按字母在竖式中出现的顺序（先出现的先赋值），因为低位确定后立刻可以检验。可行性剪枝：每列若三个字母都已赋值，检查进位是否一致；若部分赋值，检查是否可能（\(a + b\) 与 \(c\) 的模 \(n\) 关系允许进位 0 或 1）。

10.3 [NOIP2011] Mayan 游戏（P1312）

5 步内消除。剪枝：只向右移动（向左移动等价于左边的方块向右移，排除冗余）；某种颜色的方块少于 3 个则无解；剩余方块数 $> $ 剩余步数 × 上限则剪。模拟消除的实现要小心。

10.4 骑士精神（P2324）

\(5\times5\) 棋盘，15 步内把 12 个骑士和空位复原。IDA*，\(h\) = 不在目标位置的骑士数。每层剪枝 \(g + h > \text{limit}\)。

10.5 [SCOI2005] 骑士精神 的近亲：[AHOI2012] 铁盘整理（P2534）

排序若干盘子，每次翻转前缀。\(h\) = 相邻不连续（差不为 1）的对数（每次翻转最多改变一对）。IDA*。

10.6 靶形数独（P1074）

位运算三掩码 + MRV + 搜完所有解取最大分。从约束最多的行开始（预先按空格数排序也行）。

10.7 [NOIP2017] 宝藏（P3959）

\(n \le 12\)，正解状压 DP \(O(3^n n)\) 或 \(O(2^n n^2)\) 按层扩展；随机化搜索（随机顺序 + 卡时）也能过，是"随机化搜索作为兜底"的典型。

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11. 常见错误清单

1. 回溯忘记撤销。 尤其是多个状态变量时漏一个。
2. 可行性剪枝放太晚。 在递归入口判断不如在枚举选择时判断。
3. IDA 的估价不可采纳。* \(h\) 偏大会剪掉最优解，得到错误答案。
4. A 用不一致的 \(h\) 却标记了已访问。* 会漏掉更优路径。
5. 双向 BFS 每次都扩展整层且扩展大的一侧。 应扩展小的一侧，且相遇判定要在扩展时检查另一侧的访问表。
6. 折半后合并时忘记去重或忘记空集。 子集和中空集是合法的（0），组合数要算上。
7. DLX 恢复顺序错误。 必须与删除严格相反（列的逆序、行的逆序）。
8. 康托展开数组下标从 1 起却按 0 计算。
9. 模拟退火没有卡时或初温太低。 初温要与目标函数量级相当。
10. 记忆化搜索的状态漏了一维。 导致不同状态共用答案。
11. 小木棍剪枝 5 写错。 是"当前空 或 恰好填满 时失败即返回"，不是"任何失败都返回"。
12. N 皇后位运算掩码不截断。 左移后超出 \(n\) 位要 & full。

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12. 课堂练习

1. 用 Knuth 估计法估算 8 皇后无剪枝搜索树的大小（随机走 5 次取平均）。
2. 为"15 数码"设计两个可采纳估价函数并比较强弱。（答：错位数 \(\le\) 曼哈顿和，后者更强）
3. 证明双向 BFS 相遇时得到的是最短路。
4. \(n = 30\)，求子集和恰为 \(S\) 的方案数。写出折半的代码骨架。
5. 用位运算写出 N 皇后，并在 \(n = 13\) 下计时。
6. 把 \(4\times4\) 数独建模为精确覆盖，给出行数和列数。（答：\(64\) 行，\(64\) 列）
7. 写出八数码可达性判定（逆序对奇偶）并证明。
8. 埃及分数 \(\frac{19}{45}\) 的最少项表示。（答：\(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18}\)）
9. 为"骑士精神"写出完整 IDA* 并验证样例。
10. 对模拟退火，解释为什么降温太快会得到差解、太慢会超时。

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13. 推荐题单

难度	题目	考点
基础	洛谷 P1219 八皇后	回溯
基础	洛谷 P1433 吃奶酪	状压记忆化
基础	洛谷 P1032 字串变换	双向 BFS
基础	洛谷 P1379 八数码	康托 + BFS / A*
基础	洛谷 P1120 小木棍	剪枝集大成
基础	洛谷 P1731 生日蛋糕	上下界估计
提高	洛谷 P1763 埃及分数	迭代加深
提高	洛谷 P2324 骑士精神	IDA*
提高	洛谷 P2534 铁盘整理	IDA*
提高	洛谷 P4799 世界冰球锦标赛	折半
提高	洛谷 P3067 Balanced Cow Subsets	折半 + 去重
提高	洛谷 P2831 愤怒的小鸟	状压 + 最小未覆盖
提高	洛谷 P2668 斗地主	搜索 + 贪心
提高	洛谷 P1092 虫食算	搜索顺序 + 可行性
提高	洛谷 P1312 Mayan 游戏	模拟 + 剪枝
提高	洛谷 P1074 靶形数独	MRV + 位运算
提高	洛谷 P4929 DLX 模板	精确覆盖
提高	洛谷 P1784 数独	DLX / 位运算
提高	洛谷 P4011 孤岛营救问题	分层 BFS
提高	洛谷 P2322 最短母串	AC 自动机 + BFS
提高	洛谷 P1337 平衡点	模拟退火
提高	洛谷 P2210 Haywire	模拟退火
挑战	洛谷 P3959 宝藏	状压 / 随机化
挑战	洛谷 P5507 机关	IDA* / 双向 BFS 大状态
挑战	POJ 3460 Booksort	IDA* 估价设计
挑战	洛谷 P2483 k 短路	A* / 可持久化堆

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附录：一页纸总结

四要素：状态、转移、初始与目标、判重。

剪枝六法：可行性（尽早）、最优性（下界越紧越好）、排除冗余（组合 / 对称 / 相同元素）、搜索顺序（约束强的先、MRV）、记忆化、上下界预处理。

选算法：最短步数 → BFS；深度未知答案浅 → IDDFS；有估价 → IDA（无内存）/ A（有内存）；终点明确 → 双向；\(n \le 40\) 子集 → 折半；精确覆盖 → DLX；没有正解 → 退火 / 随机化 + 卡时。

估价：松弛问题的最优解；可采纳保证正确，一致性允许标记已访问。

判重：康托（排列）、位掩码（集合）、Zobrist（棋盘）。

估算：Knuth 随机路径法。搜索能否过，先估再写。