AIGC标识 初等数论进阶

本讲内容：狄利克雷卷积体系、杜教筛、Powerful Number 筛、Min_25 筛、二次剩余（Cipolla）、原根与高次剩余、扩展 BSGS、Pollard-Rho、类欧几里得、扩展 Lucas 完整实现、Stern–Brocot 树与 Pell 方程。
建议课时：6 课时。

0. 地图

节 主题 解决什么问题
1 狄利克雷卷积与狄利克雷前缀和 积性函数的代数结构，\(O(n\log\log n)\) 求 \(\sum_{d\mid n}f(d)\)
2 莫比乌斯反演的高阶套路 \(\sum\sum f(\gcd)\)、\(\prod\) 形式、多维
3 杜教筛 亚线性求 \(\varphi, \mu\) 等的前缀和，\(O(n^{2/3})\)
4 Powerful Number 筛 用 \(O(\sqrt n)\) 个点修正杜教筛能算的函数
5 Min_25 筛 任意"\(f(p)\) 是多项式"的积性函数前缀和，\(O(n^{3/4}/\log n)\)
6 二次剩余 模质数开平方
7 原根、指标与高次剩余 \(x^k \equiv a\) 的全部解
8 扩展 BSGS 与 Pohlig–Hellman 离散对数的非互质与光滑情况
9 Pollard-Rho \(10^{18}\) 级别质因数分解
10 类欧几里得 \(\sum\lfloor\frac{ai+b}{c}\rfloor\) 及其二次形式
11 扩展 Lucas 模合数的组合数
12 Stern–Brocot、Pell、其他 分母最小的分数、二次不定方程

1. 狄利克雷卷积

1.1 定义与代数性质

\[(f * g)(n) = \sum_{d \mid n} f(d)\,g\!\left(\frac{n}{d}\right) \]

  • 交换律、结合律成立。
  • 单位元 \(\epsilon(n) = [n = 1]\)。
  • 逆元：\(f(1) \ne 0\) 时存在唯一 \(f^{-1}\) 使 \(f * f^{-1} = \epsilon\)，递推

    \[f^{-1}(n) = -\frac{1}{f(1)}\sum_{d \mid n,\ d > 1} f(d)\,f^{-1}\!\left(\frac{n}{d}\right),\qquad f^{-1}(1) = \frac{1}{f(1)} \]

  • 积性函数在卷积下封闭，积性函数的逆也是积性函数。

所以数论函数在 \((+, *)\) 下构成一个交换环，积性函数是其中的一个群。莫比乌斯反演就是"两边卷 \(\mu\)"，因为 \(\mu = 1^{-1}\)。

1.2 恒等式速查

恒等式 含义
\(\mu * 1 = \epsilon\) \(\sum_{d\mid n}\mu(d) = [n=1]\)
\(\varphi * 1 = \text{id}\) \(\sum_{d\mid n}\varphi(d) = n\)
\(1 * 1 = d\) 约数个数
\(\text{id} * 1 = \sigma\) 约数和
\(\text{id}_k * 1 = \sigma_k\) \(k\) 次约数和
\(\mu * \text{id} = \varphi\) 由 \(\varphi * 1 = \text{id}\) 两边卷 \(\mu\)
\(\mu * d = 1\)
\(\varphi * d = \sigma\) \((\varphi * 1) * 1 = \text{id} * 1\)
\(\mu^2 * 1 = 2^{\omega}\) 无平方因子约数个数 \(= 2^{\text{质因子种数}}\)

1.3 \(O(n\log n)\) 求 \(f * g\) 的前 \(n\) 项

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; i * j <= n; j++)
        h[i * j] += f[i] * g[j];

调和级数 \(O(n\log n)\)。求 \(f^{-1}\) 同理，按 \(n\) 从小到大用 1.1 的递推。

1.4 狄利克雷前缀和 \(O(n\log\log n)\)

求 \(g(n) = \sum_{d\mid n}f(d)\) 对所有 \(n \le N\)。

把 \(n\) 看成质因子指数向量 \((e_{p_1}, e_{p_2}, \dots)\)，"\(d \mid n\)"就是"每一维都 \(\le\)"，所以 \(g\) 是 \(f\) 的高维前缀和，每个质数是一个维度。

for (int p : primes)                       // 对每个维度做一遍前缀和
    for (int i = 1; i * p <= n; i++)
        f[i * p] += f[i];                  // i 递增，保证 f[i] 已含更低指数的贡献

复杂度 \(\sum_{p \le n} n/p = O(n\log\log n)\)。

逆变换（狄利克雷差分 / 莫比乌斯反演）：\(i\) 递减，改成减法。

for (int p : primes)
    for (int i = n / p; i >= 1; i--)
        f[i * p] -= f[i];

后缀和（\(g(n) = \sum_{n\mid d}f(d)\)）：for (i = n/p; i >= 1; i--) f[i] += f[i*p]。

这比 1.3 快一个 \(\log\)，是"卷 \(1\)"和"卷 \(\mu\)"的最快实现。模板：洛谷 P5495。

1.5 例：\(O(n\log\log n)\) 线性筛之外求任意"卷 1"型函数

\(\sigma_k = \text{id}_k * 1\)：初始化 \(f(i) = i^k\)，做一次狄利克雷前缀和。
\(\varphi = \mu * \text{id}\)：初始化 \(f(i) = i\)，做一次狄利克雷差分。

2. 莫比乌斯反演的高阶套路

基础套路（换元 \(T = dk\)、整除分块）见容斥讲义。这里补充四类进阶形态。

2.1 \(\sum_{i}\sum_{j} f(\gcd(i,j))\) 的通用公式

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} f(\gcd(i,j)) = \sum_{T=1}^{\min(n,m)}\left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor (f * \mu)(T) \]

推导：\(f(\gcd) = \sum_{d\mid\gcd}(f*\mu)(d)\)（莫比乌斯反演），交换求和。所以任何 \(f(\gcd)\) 求和都归结为求 \(f * \mu\) 的前缀和：

  • \(f = \text{id}\)：\(f * \mu = \varphi\)。
  • \(f = [\cdot = 1]\)：\(f * \mu = \mu\)。
  • \(f = [\cdot \text{ 是质数}]\)：\((f*\mu)(T) = \sum_{p \mid T}\mu(T/p)\)，线性筛后 \(O(n\log\log n)\) 或用 1.4。
  • \(f = d\)：\(f * \mu = 1\)。

2.2 乘积形式：[SDOI2017] 数字表格

\[\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{m}F_{\gcd(i,j)}\quad (F \text{ 为斐波那契}) \]

取对数思想：把 \(\sum\) 换成 \(\prod\)，把系数换成指数。

\[= \prod_{d}F_d^{\sum_{i\le n/d}\sum_{j\le m/d}[\gcd=1]} = \prod_{d}F_d^{\sum_k\mu(k)\lfloor\frac{n}{dk}\rfloor\lfloor\frac{m}{dk}\rfloor} = \prod_{T}\left(\prod_{d\mid T}F_d^{\mu(T/d)}\right)^{\lfloor n/T\rfloor\lfloor m/T\rfloor} \]

预处理 \(G(T) = \prod_{d\mid T}F_d^{\mu(T/d)}\)（\(O(n\log n)\)，\(\mu = -1\) 时乘逆元）及其前缀积，整除分块时用前缀积的商（乘逆元）。

2.3 带限制的求和：[SDOI2014] 数表

\(\sum_{i\le n}\sum_{j\le m}\sigma(\gcd(i,j))\,[\sigma(\gcd) \le a]\)，多组询问 \(a\) 不同。

按 \(a\) 离线排序，\(\sigma\) 值也排序，双指针逐个"激活" \(\sigma(d) \le a\) 的 \(d\)，激活时把 \(\sigma(d)\mu(T/d)\) 加到所有 \(T = kd\) 上（树状数组单点加，\(O(\frac{n}{d}\log n)\)）。查询时整除分块 + 树状数组区间和。总 \(O(n\log^2 n + q\sqrt n\log n)\)。

套路：\((f*\mu)(T)\) 的定义式 \(\sum_{d\mid T}f(d)\mu(T/d)\) 中，\(f(d)\) 有限制时，把"激活 \(d\)"看成对 \(T\) 的倍数更新。

2.4 多维与非标准上界

\(\sum_{i}\sum_{j}\sum_{k}[\gcd(i,j,k)=1]\)：\(\sum_d\mu(d)\lfloor n/d\rfloor^3\)，三维整除分块与二维一样。

\(\sum_{i}\sum_{j}\gcd(i,j)\cdot[i\le n][j\le m][i \ne j]\) 等带附加条件：先去掉条件做完整求和，再单独减掉条件违反部分（通常是一维求和）。

\(\sum_{i}\sum_{j}\varphi(ij)\)（P4240 毒瘤之神的考验）：\(\varphi(ij) = \dfrac{\varphi(i)\varphi(j)\gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))}\)，代入后 \(\sum_d \frac{d}{\varphi(d)}\sum_{k}\mu(k)S(\lfloor n/dk\rfloor)S(\lfloor m/dk\rfloor)\)，其中 \(S\) 是 \(\varphi\) 的分段前缀和。令 \(T = dk\)，内层 \(h(T) = \sum_{d\mid T}\frac{d}{\varphi(d)}\mu(T/d)\)，然后 \(\sum_T h(T)S_1(n/T)S_2(m/T)\)。多组询问时对 \(T\) 整除分块仍有 \(O(\sqrt n)\) 段，每段需要 \(\sum_{T\in[l,r]}h(T)S(\lfloor n/T\rfloor)S(\lfloor m/T\rfloor)\)，但 \(\lfloor n/T\rfloor\) 在段内是常数 \(a\)、\(\lfloor m/T\rfloor\) 是常数 \(b\)，所以预处理 \(F[a][b][T] = \sum_{t\le T}h(t)S(a)S(b)\) 对小 \(a, b\)（\(\le B\)）打表，大的暴力，根号分治。

3. 杜教筛

3.1 原理

要求 \(S(n) = \sum_{i=1}^{n}f(i)\)。找一个 \(g\)，使得 \(f * g\) 和 \(g\) 的前缀和都好算。

\[\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i) = \sum_{d=1}^{n}g(d)\,S\!\left(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor\right) \]

把 \(d = 1\) 的项拆出来：

\[\boxed{\;g(1)\,S(n) = \sum_{i=1}^{n}(f*g)(i) - \sum_{d=2}^{n}g(d)\,S\!\left(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor\right)\;} \]

右边第二项整除分块，递归求 \(S(\lfloor n/d\rfloor)\)，记忆化。

3.2 复杂度

\(S\) 只会在 \(\lfloor n/d\rfloor\) 处被调用，共 \(O(\sqrt n)\) 个值。不预处理时 \(O(n^{3/4})\)；用线性筛预处理前 \(n^{2/3}\) 项后 \(O(n^{2/3})\)。

3.3 常用配对

\(f\) \(g\) \(f * g\) 递推式
\(\mu\) \(1\) \(\epsilon\) \(S(n) = 1 - \sum_{d\ge2}S(n/d)\)
\(\varphi\) \(1\) \(\text{id}\) \(S(n) = \frac{n(n+1)}{2} - \sum_{d\ge2}S(n/d)\)
\(\varphi\cdot\text{id}\) \(\text{id}\) \(\text{id}^2\) \(S(n) = \sum i^2 - \sum_{d\ge2}d\,S(n/d)\)
\(\varphi\cdot\text{id}^k\) \(\text{id}^k\) \(\text{id}^{k+1}\) 同上推广
\(\mu\cdot\text{id}\) \(\text{id}\) \(\epsilon\) \(S(n) = 1 - \sum_{d\ge2}d\,S(n/d)\)
\(d\)（约数个数） \(\mu\) \(1\) 需要 \(\mu\) 前缀和（再套一层杜教筛）

判断 \(g\) 是否可用：\(g\) 要积性且前缀和 \(O(1)\)（幂函数），\(f * g\) 前缀和 \(O(1)\)。\(f(p)\) 是关于 \(p\) 的多项式时，通常取 \(g = \text{id}^k\) 使 \(f * g\) 在质数处为 \(p^{k'}\) 的简单形式。

3.4 代码

const int LIM = 2000000;                  // 约 n^{2/3}
int mu[LIM + 1], phi[LIM + 1]; ll smu[LIM + 1], sphi[LIM + 1];
unordered_map<ll, ll> Smu, Sphi;

ll sumMu(ll n) {
    if (n <= LIM) return smu[n];
    if (Smu.count(n)) return Smu[n];
    ll res = 1;
    for (ll l = 2, r; l <= n; l = r + 1) {
        r = n / (n / l);
        res -= (r - l + 1) * sumMu(n / l);
    }
    return Smu[n] = res;
}
ll sumPhi(ll n) {                          // 需要时取模
    if (n <= LIM) return sphi[n];
    if (Sphi.count(n)) return Sphi[n];
    ll res = n * (n + 1) / 2;
    for (ll l = 2, r; l <= n; l = r + 1) {
        r = n / (n / l);
        res -= (r - l + 1) * sumPhi(n / l);
    }
    return Sphi[n] = res;
}

unordered_map 可换成"按 \(\lfloor n/d\rfloor\) 的两段索引"数组（\(d \le \sqrt n\) 用 \(d\) 索引，否则用 \(n/d\) 索引），更快。模板：洛谷 P4213。

3.5 例题：洛谷 P3768 简单的数学题

\(\sum_{i}\sum_{j}ij\gcd(i,j) \bmod p\)，\(n \le 10^{10}\)。

\[= \sum_T\left(\sum_{i\le n/T}i\right)^2 T^2\,(\text{id}*\mu\cdot\text{id})(T) \]

注意 $ij\gcd = \sum_{d\mid\gcd}d\varphi(d)\cdot ij / $ …… 更直接：\(\gcd(i,j) = \sum_{d\mid\gcd}\varphi(d)\)，所以

\[\sum_d\varphi(d)\,d^2\left(\sum_{i\le n/d}i\right)^2 \]

需要 \(\varphi(d)d^2\) 的前缀和，取 \(g = \text{id}^2\)，\(f*g = \text{id}^3\)，杜教筛。

4. Powerful Number 筛

4.1 Powerful Number

\(n\) 是 PN 当且仅当每个质因子指数 \(\ge 2\)。所有 PN 可写成 \(a^2b^3\)，所以 \(\le n\) 的 PN 只有 \(O(\sqrt n)\) 个。

4.2 原理

积性 \(f\)，找积性 \(g\) 满足 \(g(p) = f(p)\)（只要求质数处相等）且 \(g\) 前缀和好算。令 \(h = f * g^{-1}\)，则 \(h\) 积性且 \(h(p) = f(p) - g(p) = 0\)，所以 \(h\) 只在 PN 处非零。

\[S_f(n) = \sum_{d\text{ 是 PN}}h(d)\,S_g\!\left(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor\right) \]

  • 枚举 PN：DFS 枚举质数（\(\le\sqrt n\)）及指数 \(\ge 2\)，\(O(\sqrt n)\) 个。
  • \(h(p^k)\)：由 \(f(p^k) = \sum_{i=0}^{k}g(p^{k-i})h(p^i)\) 反解，对每个质数只需算到 \(p^k \le n\)，总 \(O(\sqrt n\log n)\)；若 \(h(p^k)\) 有闭式更好。
  • \(S_g\)：杜教筛或直接公式。

复杂度取决于 \(S_g\)：若 \(S_g\) 是 \(O(1)\) 公式，总 \(O(\sqrt n)\)；若杜教筛，\(O(n^{2/3})\)。

4.3 例题：LOJ 6053 简单的函数

\(f(p^e) = p \oplus e\)，求前缀和。\(f(p) = p - 1\)（\(p\) 奇）或 \(3\)（\(p = 2\)）。取 \(g = \varphi\)（\(g(p) = p - 1\)），\(g(2)\) 与 \(f(2)\) 不同，把 \(2\) 单独修正。\(S_\varphi\) 杜教筛。\(h(p^k)\) 用 4.2 反解。

4.4 与杜教筛的关系

杜教筛要求 \(f*g\) 好算；PN 筛只要求 \(g(p) = f(p)\)，条件更松。杜教筛能做的 PN 筛都能做，且 PN 筛能处理 \(f(p^k)\) 任意的情况。

5. Min_25 筛

5.1 适用

积性 \(f\)，且 \(f(p)\) 是关于 \(p\) 的低次多项式（或几个多项式之和），\(f(p^k)\) 可快速计算。\(n \le 10^{10}\) 左右。

5.2 第一阶段：质数处的前缀和

设 \(p_1 < p_2 < \cdots\) 为质数。定义

\[g(n, j) = \sum_{\substack{2\le i\le n\\ i\text{ 是质数 或 }\text{minp}(i) > p_j}} f'(i) \]

其中 \(f'\) 是完全积性函数（\(f'(p) = f(p)\) 的一个单项式，如 \(p^k\)）。\(g(n, 0) = \sum_{i=2}^{n}f'(i)\) 用公式。递推：

\[g(n, j) = g(n, j-1) - f'(p_j)\left[g\!\left(\left\lfloor\frac{n}{p_j}\right\rfloor, j-1\right) - \sum_{i<j}f'(p_i)\right]\qquad(p_j^2\le n) \]

含义：从"最小质因子 \(> p_{j-1}\) 的合数"里去掉"最小质因子恰为 \(p_j\)"的那些，它们是 \(p_j \times\)（最小质因子 \(\ge p_j\) 的数）。\(p_j^2 > n\) 时 \(g(n,j) = g(n,j-1)\)。

\(g(n, |P|)\) 就是 \(\sum_{p\le n}f'(p)\)。\(n\) 只取 \(\lfloor N/i\rfloor\) 的 \(O(\sqrt N)\) 个值，滚动数组。

\(f(p)\) 有多项时，对每个单项式各算一个 \(g\)，最后线性组合。

5.3 第二阶段：全部数的前缀和

\[S(n, j) = \sum_{\substack{2\le i\le n\\ \text{minp}(i)\ge p_j}}f(i) = \underbrace{\left[g(n,|P|) - \sum_{i<j}f(p_i)\right]}_{\text{质数部分}} + \sum_{\substack{k\ge j\\ p_k^2\le n}}\sum_{\substack{e\ge1\\ p_k^{e+1}\le n}}\left[f(p_k^e)\,S\!\left(\left\lfloor\frac{n}{p_k^e}\right\rfloor, k+1\right) + f(p_k^{e+1})\right] \]

含义：按最小质因子 \(p_k\) 及其指数 \(e\) 分类，\(f(p_k^e)\cdot\)（剩余部分最小质因子 \(> p_k\)）加上 \(p_k^{e+1}\) 本身。

答案 \(= S(N, 1) + f(1)\)。不需要记忆化，复杂度 \(O\!\left(\frac{n^{3/4}}{\log n}\right)\)。

5.4 代码（洛谷 P5325：\(f(p^k) = p^k(p^k - 1)\)）

ll N, sq; int cnt;
ll pr[M], sp1[M], sp2[M];         // 质数、Σp、Σp² 前缀
ll w[M], g1[M], g2[M]; int tot;   // w: 所有 ⌊N/i⌋；g1: Σp, g2: Σp²
int id1[M], id2[M];
int idx(ll x) { return x <= sq ? id1[x] : id2[N / x]; }

void sieve() { /* 线性筛出 ≤ sq 的质数，填 pr, sp1, sp2 */ }

ll S(ll n, int j) {
    if (pr[j] > n) return 0;
    int i = idx(n);
    ll ans = (g2[i] - g1[i] - (sp2[j - 1] - sp1[j - 1]) + 2 * MOD) % MOD;   // 质数处 f(p)=p²-p
    for (int k = j; k <= cnt && pr[k] * pr[k] <= n; k++)
        for (ll pe = pr[k], e = 1; pe * pr[k] <= n; pe *= pr[k], e++) {
            ll fpe = pe % MOD * ((pe - 1) % MOD) % MOD;
            ll fpe1 = pe * pr[k] % MOD * ((pe * pr[k] - 1) % MOD) % MOD;
            ans = (ans + fpe * S(n / pe, k + 1) + fpe1) % MOD;
        }
    return ans;
}

int main() {
    cin >> N; sq = sqrt((long double)N); sieve();
    for (ll l = 1, r; l <= N; l = r + 1) {          // 枚举 ⌊N/i⌋
        r = N / (N / l); ll v = N / l;
        w[++tot] = v;
        ll vm = v % MOD;
        g1[tot] = (vm * (vm + 1) / 2 - 1) % MOD;                       // Σ_{2..v} i
        g2[tot] = (vm * (vm + 1) % MOD * (2 * vm + 1) % MOD * inv6 - 1) % MOD;   // Σ_{2..v} i²
        if (v <= sq) id1[v] = tot; else id2[N / v] = tot;
    }
    for (int j = 1; j <= cnt; j++)
        for (int i = 1; i <= tot && pr[j] * pr[j] <= w[i]; i++) {
            int k = idx(w[i] / pr[j]);
            g1[i] = (g1[i] - pr[j] * (g1[k] - sp1[j - 1]) % MOD + MOD) % MOD;
            g2[i] = (g2[i] - pr[j] * pr[j] % MOD * (g2[k] - sp2[j - 1]) % MOD + MOD) % MOD;
        }
    cout << (S(N, 1) + 1) % MOD << endl;
}

pr[cnt+1] 应设为一个大于 \(\sqrt N\) 的哨兵值以保证 pr[j] > n 的判断正确。

5.5 副产品：素数计数

取 \(f' = 1\)，第一阶段的 \(g(n, |P|)\) 就是 \(\pi(n)\)。这是 Lucy_Hedgehog 算法，\(O(n^{3/4}/\log n)\)，\(10^{11}\) 内秒出。

5.6 三种筛的选择

筛 条件 复杂度 优点
杜教筛 找得到 \(g\) 使 \(f*g\) 简单 \(n^{2/3}\) 最快
PN 筛 找得到 \(g\) 使 \(g(p) = f(p)\) 且 \(S_g\) 好算 \(\sqrt n\) 到 \(n^{2/3}\) 处理 \(f(p^k)\) 任意
Min_25 \(f(p)\) 是多项式 \(n^{3/4}/\log n\) 最通用，不用找 \(g\)

6. 二次剩余

6.1 定义与判别

\(p\) 为奇质数。若 \(x^2 \equiv a \pmod p\) 有解，称 \(a\) 是模 \(p\) 的二次剩余。

欧拉判别准则：\(a \not\equiv 0\) 时

\[a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \begin{cases} 1 & a \text{ 是二次剩余} \\ -1 & a \text{ 不是} \end{cases}\pmod p \]

勒让德符号 \(\left(\frac{a}{p}\right)\) 即上式的值。\(1..p-1\) 中恰有 \(\frac{p-1}{2}\) 个二次剩余。

二次互反律（了解）：\(p, q\) 为不同奇质数，\(\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}\)。

6.2 \(p \equiv 3 \pmod 4\) 的特殊情况

\(x = a^{\frac{p+1}{4}}\)。验证：\(x^2 = a^{\frac{p+1}{2}} = a\cdot a^{\frac{p-1}{2}} = a\)。

6.3 Cipolla 算法（一般情况）

  1. 随机 \(t\)，直到 \(w = t^2 - a\) 是非二次剩余（期望 2 次）。
  2. 在扩域 \(\mathbb{F}_p[\sqrt w]\) 中计算 \(x = (t + \sqrt w)^{\frac{p+1}{2}}\)，\(x\) 的 \(\sqrt w\) 系数为 0，常数项即答案。

证明：在 \(\mathbb{F}_p[\sqrt w]\) 中，\((\sqrt w)^p = \sqrt w\cdot w^{\frac{p-1}{2}} = -\sqrt w\)（因 \(w\) 非二次剩余）。由 Frobenius，\((t + \sqrt w)^p = t^p + (\sqrt w)^p = t - \sqrt w\)。于是

\[(t+\sqrt w)^{p+1} = (t + \sqrt w)(t - \sqrt w) = t^2 - w = a \]

所以 \(x^2 = a\)。\(x \in \mathbb{F}_p\) 的证明：若 \(x = u + v\sqrt w\)，\(v \ne 0\)，则 \(x^2 = u^2 + v^2w + 2uv\sqrt w = a\) 要求 \(uv = 0\)，\(u = 0\) 时 \(v^2 w = a\)，与 \(w\) 非二次剩余、\(a\) 是二次剩余矛盾。\(\blacksquare\)

ll p, w;
struct Num { ll x, y; };                              // x + y√w
Num mul(Num a, Num b) {
    return {(a.x * b.x + a.y * b.y % p * w) % p, (a.x * b.y + a.y * b.x) % p};
}
Num pw(Num a, ll b) { Num r = {1, 0}; while (b) { if (b & 1) r = mul(r, a); a = mul(a, a); b >>= 1; } return r; }

ll sqrtMod(ll a) {                                    // 返回一个根，无解返回 -1；另一根为 p - x
    a %= p;
    if (a == 0) return 0;
    if (qpow(a, (p - 1) / 2, p) != 1) return -1;
    ll t;
    do { t = rng() % p; w = ((t * t - a) % p + p) % p; } while (qpow(w, (p - 1) / 2, p) != p - 1);
    return pw({t, 1}, (p + 1) / 2).x;
}

模板：洛谷 P5491。两个根 \(x\) 与 \(p - x\)，\(a = 0\) 时只有一个根。

6.4 模 \(p^k\) 与模合数：Hensel 提升

已知 \(x_0^2 \equiv a \pmod{p^k}\)，求 \(x_1 \equiv x_0 + tp^k\) 使 \(x_1^2 \equiv a \pmod{p^{k+1}}\)：

\[2x_0 t \equiv \frac{a - x_0^2}{p^k} \pmod p \]

\(p \nmid 2x_0\) 时有唯一解。模合数先分解再 CRT。\(p = 2\) 需要单独讨论（模 8 的奇数二次剩余只有 1，解数为 4）。

6.5 应用

  • 多项式开根：Newton 迭代的常数项需要 Cipolla。
  • 斐波那契通项模 \(p\)：\(\sqrt5\) 存在时（\(p \equiv \pm1 \pmod 5\)），\(F_n = \frac{1}{\sqrt5}(\varphi^n - \psi^n)\) 可直接快速幂。
  • 判断 \(x^2 + y^2 = n\) 之类：\(-1\) 是模 \(p\) 二次剩余 \(\iff p \equiv 1 \pmod 4\)。

7. 原根、指标与高次剩余

7.1 阶与原根（复习加深）

  • \(\delta_m(a) \mid \varphi(m)\)；\(a^k \equiv 1 \iff \delta_m(a) \mid k\)。
  • 原根存在 \(\iff m \in \{1, 2, 4, p^k, 2p^k\}\)。存在时原根个数为 \(\varphi(\varphi(m))\)。
  • 求最小原根：枚举 \(g = 2, 3, \dots\)，对 \(\varphi(m)\) 的每个质因子 \(q\) 检查 \(g^{\varphi(m)/q} \not\equiv 1\)。最小原根一般很小（\(O(m^{1/4})\) 级别，实践中几十以内）。
  • 所有原根：\(g^k\)，\(\gcd(k, \varphi(m)) = 1\)。

模板：洛谷 P6091。

7.2 指标：把乘法变加法

固定原根 \(g\)，\(\{1, \dots, p-1\}\) 中每个 \(a\) 唯一写成 \(g^{\text{ind}(a)}\)，\(\text{ind}(a) \in [0, p-2]\)。

\[\text{ind}(ab) \equiv \text{ind}(a) + \text{ind}(b) \pmod{p-1} \]

\(\text{ind}\) 用 BSGS 求，\(O(\sqrt p)\)。所有关于乘法群的问题都可以转成模 \(p-1\) 的加法群问题。

7.3 \(N\) 次剩余：\(x^k \equiv a \pmod p\) 的全部解

设 \(x = g^y\)，\(a = g^t\)（BSGS 求 \(t\)）。则

\[ky \equiv t \pmod{p-1} \]

线性同余方程：\(d = \gcd(k, p-1)\)，\(d \nmid t\) 无解；否则 \(y_0 = \frac{t}{d}\left(\frac{k}{d}\right)^{-1} \bmod \frac{p-1}{d}\)，全部解 \(y = y_0 + i\cdot\frac{p-1}{d}\)，\(i = 0..d-1\)，共 \(d\) 个。\(x = g^y\)。

vector<ll> nthRoot(ll k, ll a, ll p) {          // x^k ≡ a (mod p), p 质数, a ≠ 0
    ll g = primitiveRoot(p);
    ll t = BSGS(g, a, p);                        // g^t ≡ a
    ll x, y, d = exgcd(k, p - 1, x, y);
    if (t % d) return {};
    ll md = (p - 1) / d;
    ll y0 = ((__int128)x * (t / d) % md + md) % md;
    vector<ll> res;
    for (ll i = 0; i < d; i++) res.push_back(qpow(g, y0 + i * md, p));
    return res;
}

例题：SGU 261 Discrete Roots；洛谷 P2421 荒岛野人（不同题但同思路）。

7.4 \(a\) 是 \(k\) 次剩余的判定

\(a^{\frac{p-1}{\gcd(k, p-1)}} \equiv 1 \pmod p\)。（二次剩余的欧拉判别是 \(k = 2\) 的特例。）

8. 离散对数进阶

8.1 扩展 BSGS：\(\gcd(a, m) \ne 1\)

解 \(a^x \equiv b \pmod m\)。

反复取 \(d = \gcd(a, m)\)：若 \(d \nmid b\) 无解；否则方程两边除以 \(d\)：

\[\frac{a}{d}\cdot a^{x-1} \equiv \frac{b}{d} \pmod{\frac{m}{d}} \]

重复直到 \(\gcd(a, m') = 1\)，此时形如 \(C\cdot a^{x-k} \equiv b' \pmod{m'}\)，把 \(C\) 的逆元乘过去，普通 BSGS 求 \(x - k\)。每步都要检查 \(C \equiv b'\)（即 \(x = k\) 是解）。

ll exBSGS(ll a, ll b, ll m) {                  // 最小非负 x，无解 -1
    a %= m; b %= m;
    if (b == 1 % m) return 0;
    ll k = 0, C = 1, d;
    while ((d = __gcd(a, m)) != 1) {
        if (b % d) return -1;
        b /= d; m /= d; k++;
        C = C * (a / d) % m;
        if (C == b) return k;
    }
    ll r = BSGS(a, b * inv(C, m) % m, m);        // 普通 BSGS，需支持 m 非质数（只要 gcd(a,m)=1 即可）
    return r < 0 ? -1 : r + k;
}

普通 BSGS 中 \(a^{-t}\) 的逆元用 exgcd 求（\(m\) 不一定是质数）。模板：洛谷 P4195。

8.2 Pohlig–Hellman（了解）

若 \(p - 1 = \prod q_i^{e_i}\) 的每个 \(q_i\) 都小（光滑），离散对数可以对每个 \(q_i^{e_i}\) 分别求（子群阶为 \(q_i^{e_i}\) 的 BSGS 只需 \(O(\sqrt{q_i})\)），再 CRT 合并。总 \(O(\sum e_i\sqrt{q_i})\)。这是为什么密码学要求 \(p - 1\) 有大质因子。

9. Pollard-Rho

9.1 思想

要找 \(n\) 的非平凡因子 \(d\)。取伪随机序列 \(x_{i+1} = x_i^2 + c \bmod n\)。模 \(d\) 看，这个序列在 \(O(\sqrt d)\) 步内进入循环（生日悖论），即存在 \(i \ne j\) 使 \(x_i \equiv x_j \pmod d\) 但（大概率）\(x_i \not\equiv x_j \pmod n\)。此时 \(\gcd(|x_i - x_j|, n)\) 就是 \(d\) 的倍数且 \(< n\)。

\(d \le \sqrt n\)，所以期望 \(O(n^{1/4})\) 步。

9.2 实现要点

  • Brent 判环 + 倍增：\(x\) 固定，\(y\) 走 \(1, 2, 4, \dots\) 步。
  • 批量 gcd：把 \(|x - y|\) 累乘 127 次再做一次 gcd，减少 gcd 调用。若乘积变成 0（\(x = y\)），本轮失败，换 \(c\) 重来。
  • __int128 乘法或 long double 快速乘。
  • 先用 Miller-Rabin 判质数，再递归分解。
ll rho(ll n) {
    ll c = rng() % (n - 1) + 1, x = 0, y = 0, t = 1;
    for (int goal = 1;; goal <<= 1, x = y, t = 1) {
        for (int i = 1; i <= goal; i++) {
            y = (mul(y, y, n) + c) % n;
            t = mul(t, llabs(x - y), n);
            if (i % 127 == 0) { ll d = __gcd(t, n); if (d > 1) return d; }
        }
        ll d = __gcd(t, n); if (d > 1) return d;
    }
}
void factor(ll n, map<ll, int>& res) {
    if (n == 1) return;
    if (millerRabin(n)) { res[n]++; return; }
    ll d;
    do d = rho(n); while (d == n);            // d == n 说明 t 变成 0，重试
    factor(d, res); factor(n / d, res);
}

先把小质因子（\(\le 100\)）试除掉可以显著加速。模板：洛谷 P4718。

10. 类欧几里得算法

10.1 问题

\[f(a, b, c, n) = \sum_{i=0}^{n}\left\lfloor\frac{ai + b}{c}\right\rfloor \]

\(O(\log)\) 求。用途：直线下整点计数、\(\sum(ai + b)\bmod c\)、某些取模求和。

10.2 推导

情况一：\(a \ge c\) 或 \(b \ge c\)。 把整数部分提出：

\[f(a,b,c,n) = \left\lfloor\frac{a}{c}\right\rfloor\frac{n(n+1)}{2} + \left\lfloor\frac{b}{c}\right\rfloor(n+1) + f(a \bmod c,\ b \bmod c,\ c,\ n) \]

情况二：\(a < c\)，\(b < c\)。 令 \(m = \left\lfloor\frac{an + b}{c}\right\rfloor\)。交换求和：

\[\sum_{i=0}^{n}\left\lfloor\frac{ai+b}{c}\right\rfloor = \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}\left[j < \left\lfloor\frac{ai+b}{c}\right\rfloor\right] = \sum_{j=0}^{m-1}\sum_{i=0}^{n}\left[i > \left\lfloor\frac{cj + c - b - 1}{a}\right\rfloor\right] \]

\[= \sum_{j=0}^{m-1}\left(n - \left\lfloor\frac{cj + c - b - 1}{a}\right\rfloor\right) = nm - f(c,\ c - b - 1,\ a,\ m - 1) \]

\((a, c) \to (c \bmod a, a)\) 的变化和欧几里得算法一样，所以 \(O(\log)\)。

ll f(ll a, ll b, ll c, ll n) {
    if (a == 0) return (b / c) * (n + 1);
    if (a >= c || b >= c)
        return (a / c) * n * (n + 1) / 2 + (b / c) * (n + 1) + f(a % c, b % c, c, n);
    ll m = (a * n + b) / c;
    return n * m - f(c, c - b - 1, a, m - 1);
}

10.3 二次形式

\[g(a,b,c,n) = \sum_{i=0}^{n}i\left\lfloor\frac{ai+b}{c}\right\rfloor,\qquad h(a,b,c,n) = \sum_{i=0}^{n}\left\lfloor\frac{ai+b}{c}\right\rfloor^2 \]

三者要同时递归（互相依赖）。结论（记 \(A = \lfloor a/c\rfloor\)，\(B = \lfloor b/c\rfloor\)，\(a' = a\bmod c\)，\(b' = b\bmod c\)，\(S_1 = \frac{n(n+1)}{2}\)，\(S_2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)）：

\(a \ge c\) 或 \(b \ge c\)：

\[g = A\,S_2 + B\,S_1 + g(a',b',c,n) \]

\[h = A^2 S_2 + B^2(n+1) + 2AB\,S_1 + 2A\,g(a',b',c,n) + 2B\,f(a',b',c,n) + h(a',b',c,n) \]

\(a < c\)，\(b < c\)（\(m\) 同上，\(f', g', h'\) 表示参数 \((c, c-b-1, a, m-1)\)）：

\[g = \frac{1}{2}\left[m\,n(n+1) - h' - f'\right] \]

\[h = n\,m(m+1) - 2g' - 2f' - f(a,b,c,n) \]

模板：洛谷 P5170。实现时把 \((f, g, h)\) 打包成结构体一起返回，每层只递归一次。

10.4 万能欧几里得（了解）

把"直线下方走格子"看成一个由 \(U\)（向上）和 \(R\)（向右）组成的序列，答案是这个序列在某个幺半群上的乘积。类欧的递归结构对序列做"欧几里得式"的重组，任何幺半群（矩阵、多项式）都可以套用。能处理 \(\sum \lfloor\cdot\rfloor^k\)、\(\sum A^{\lfloor\cdot\rfloor}B^i\) 等。模板：洛谷 P5170 加强版 / LOJ 6440。

11. 扩展 Lucas 完整实现

11.1 问题

\(\binom{n}{m} \bmod M\)，\(M\) 不是质数但 \(M \le 10^6\) 左右（可分解，各 \(p^k\) 不大）。

11.2 步骤

  1. 分解 \(M = \prod p_i^{k_i}\)。
  2. 对每个 \(p^k\) 求 \(\binom{n}{m} \bmod p^k\)。
  3. CRT 合并。

11.3 \(\binom{n}{m} \bmod p^k\)

\(n!\) 写成 \(p^{v}\cdot F(n)\)，\(F(n)\) 是"去掉所有 \(p\) 因子后的部分"。

  • \(v\)（Legendre 公式）：\(v_p(n!) = \sum_{j\ge1}\lfloor n/p^j\rfloor\)。
  • \(F(n) \bmod p^k\)：\(1..n\) 中不含 \(p\) 的数以 \(p^k\) 为周期，周期内乘积记 \(\Pi\)；含 \(p\) 的数是 \(p, 2p, \dots\)，提出 \(p\) 后是 \(1..\lfloor n/p\rfloor\)，递归。

\[F(n) = \Pi^{\lfloor n/p^k\rfloor}\cdot\left(\prod_{\substack{i\le n\bmod p^k\\ p\nmid i}}i\right)\cdot F\!\left(\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor\right) \]

\[\binom{n}{m} \equiv \frac{F(n)}{F(m)F(n-m)}\cdot p^{v_p(n!) - v_p(m!) - v_p((n-m)!)} \pmod{p^k} \]

\(F\) 与 \(p\) 互质，逆元用 exgcd。

ll F(ll n, ll p, ll pk) {
    if (!n) return 1;
    ll res = 1;
    for (ll i = 2; i <= pk; i++) if (i % p) res = res * i % pk;      // 周期乘积（可预处理）
    res = qpow(res, n / pk, pk);
    for (ll i = 2; i <= n % pk; i++) if (i % p) res = res * i % pk;
    return res * F(n / p, p, pk) % pk;
}
ll vp(ll n, ll p) { ll c = 0; while (n) n /= p, c += n; return c; }
ll Cpk(ll n, ll m, ll p, ll pk) {
    if (m > n) return 0;
    ll e = vp(n, p) - vp(m, p) - vp(n - m, p);
    return F(n, p, pk) * inv(F(m, p, pk), pk) % pk * inv(F(n - m, p, pk), pk) % pk * qpow(p, e, pk) % pk;
}
ll exLucas(ll n, ll m, ll M) {
    vector<ll> a, mods;
    ll t = M;
    for (ll p = 2; p * p <= t; p++) if (t % p == 0) {
        ll pk = 1; while (t % p == 0) t /= p, pk *= p;
        a.push_back(Cpk(n, m, p, pk)); mods.push_back(pk);
    }
    if (t > 1) a.push_back(Cpk(n, m, t, t)), mods.push_back(t);
    return CRT(a, mods);
}

模板：洛谷 P4720。

11.4 Kummer 定理

\(v_p\left(\binom{n}{m}\right)\) = \(m\) 与 \(n - m\) 在 \(p\) 进制下相加的进位次数。推论：\(\binom{n}{m}\) 为奇数 \(\iff m \,\&\, (n-m) = 0 \iff m \subseteq n\)。

12. 其他工具

12.1 Stern–Brocot 树与 Farey 序列

从 \(\frac{0}{1}\) 和 \(\frac{1}{0}\) 出发，相邻两分数 \(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\) 之间插入中位分数 \(\frac{a+c}{b+d}\)。性质：

  • 每个正有理数恰出现一次，且以最简形式出现。
  • 相邻分数满足 \(bc - ad = 1\)。
  • 树上从根到 \(\frac{p}{q}\) 的路径由欧几里得算法的商序列决定（左右走的次数）。

应用：区间 \((\frac{a}{b}, \frac{c}{d})\) 内分母最小的分数（洛谷 P5179）。递归：

  • 若 \(\lfloor a/b\rfloor + 1 < c/d\)（即区间内有整数），答案是 \(\lfloor a/b\rfloor + 1\)。
  • 若 \(a/b\) 和 \(c/d\) 有相同整数部分 \(k\)，减去 \(k\) 后取倒数（区间翻转），递归，再倒回来加 \(k\)。

每步是欧几里得的一步，\(O(\log)\)。

Farey 序列 \(F_n\)：分母 \(\le n\) 的所有最简分数按大小排列。相邻项 \(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\) 的下一项是 \(\frac{kc - a}{kd - b}\)，\(k = \lfloor\frac{n + b}{d}\rfloor\)。可 \(O(1)\) 递推枚举。\(|F_n| = 1 + \sum_{i\le n}\varphi(i)\)。

12.2 Pell 方程

\(x^2 - Dy^2 = 1\)（\(D\) 非完全平方）。

  • 有无穷多正整数解，最小解 \((x_1, y_1)\) 称基本解。
  • 全部解：\(x_k + y_k\sqrt D = (x_1 + y_1\sqrt D)^k\)，即

    \[x_{k+1} = x_1x_k + Dy_1y_k,\qquad y_{k+1} = x_1y_k + y_1x_k \]

  • 基本解由 \(\sqrt D\) 的连分数展开得到；竞赛中 \(D\) 小可以暴力枚举 \(y\)。

\(x^2 - Dy^2 = -1\) 不一定有解；\(= N\) 的一般情况用基本解生成有限个"类"。

12.3 连分数

\(\frac{p}{q} = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cdots}}\)，\(a_i\) 是欧几里得算法的商。渐进分数 \(\frac{p_k}{q_k}\) 满足 \(p_k = a_kp_{k-1} + p_{k-2}\)，\(q_k\) 同理，且 \(p_kq_{k-1} - p_{k-1}q_k = (-1)^{k-1}\)。渐进分数是"分母不超过 \(q_k\) 的最佳有理逼近"。

12.4 \(n!\bmod p\) 的快速计算（了解）

\(n < p\)，\(p\) 大质数：分块 \(\prod_{i}(is + 1)\cdots(is + s)\)，\(s = \sqrt p\)，块乘积是关于 \(i\) 的 \(s\) 次多项式，多项式多点求值 \(O(\sqrt p\log^2 p)\)。威尔逊定理的推广用于 \(n \ge p\) 的情形。

12.5 数论分块的二维形态

\(\sum_{i=1}^{n}(n \bmod i)(m \bmod i)\)（[清华集训2012] 模积和，洛谷 P2260）：展开为 \(\sum(n - i\lfloor n/i\rfloor)(m - i\lfloor m/i\rfloor)\)，需要 \(\sum i^2\lfloor n/i\rfloor\lfloor m/i\rfloor\)，双变量整除分块 + 平方和公式。注意 \(i > \min(n,m)\) 的部分要单独处理。

13. 常见错误清单

  1. 狄利克雷前缀和的循环方向。 前缀和 \(i\) 递增，差分 \(i\) 递减。
  2. 杜教筛的 \(g(1)\)。 若 \(g(1) \ne 1\) 要除以 \(g(1)\)。
  3. 杜教筛的记忆化键。 只有 \(\lfloor n/d\rfloor\) 形式的参数会重复，用 map 或两段数组，不要用 n 直接开数组。
  4. Min_25 第一阶段的枚举顺序。 外层质数、内层 \(w\)，且 \(w_i < p_j^2\) 时停止（不是跳过）。
  5. Min_25 的 pr[cnt+1] 哨兵。 S 函数中 pr[j] > n 需要哨兵才能在 \(j = cnt+1\) 时正确返回。
  6. Cipolla 忘记 \(a = 0\) 和 \(a\) 非二次剩余的判断，或随机 \(t\) 时 \(w = 0\)（\(t^2 = a\) 直接就是答案）。
  7. \(N\) 次剩余中模数是 \(p - 1\)。 指标在 \(\mathbb{Z}_{p-1}\) 中，不是 \(\mathbb{Z}_p\)。
  8. exBSGS 每步除 \(d\) 后忘记检查 \(C = b\)。 会漏掉 \(x = k\) 这个解。
  9. Pollard-Rho 的 \(t = 0\)。 必须重新随机 \(c\)，否则返回 \(n\) 导致无限递归。
  10. 类欧的 \(a = 0\) 边界。 必须单独返回，否则 \(m\) 的计算会出错。
  11. 类欧的 \(g, h\) 不同时递归。 三者互相依赖，分开递归复杂度爆炸。
  12. 扩展 Lucas 的 \(F\) 用了 Wilson。 周期乘积不是 \(-1\)（模 \(p^k\) 时 Wilson 不成立），必须真的乘。
  13. Stern–Brocot 递归时整数部分处理。 区间含整数时直接返回，否则减整数部分再倒数。

14. 课堂练习

  1. 用狄利克雷前缀和在 \(O(n\log\log n)\) 内求 \(\sum_{i\le n}\sigma(i)\)，写出初始化和循环。
  2. 证明 \(\mu * d = 1\) 和 \(\varphi * d = \sigma\)。
  3. 为 \(f = \mu\cdot\text{id}^2\) 找杜教筛的 \(g\)，写出递推式。（答：\(g = \text{id}^2\)，\(f*g = \epsilon\)）
  4. 对 \(f(p^k) = p^k + k\) 设计 PN 筛：\(g\) 取什么？\(h(p^2)\) 是多少？
  5. 用 Min_25 框架求 \(\sum_{p\le n}p^2\)（只需第一阶段），说明 \(g(n, 0)\) 的公式。
  6. 手算 \(x^2 \equiv 2 \pmod 7\)。（答：\(7 \equiv 3 \pmod 4\)，\(x = 2^2 = 4\)，验证 \(16 \equiv 2\)；另一根 3）
  7. 模 13 的最小原根是多少？\(x^3 \equiv 5 \pmod{13}\) 有几个解？（答：2；\(\gcd(3, 12) = 3\)，\(5 = 2^9\)，\(9 \bmod 3 = 0\)，3 个解）
  8. 求 \(f(3, 1, 5, 4)\) 并用类欧递归验证。（答：\(\lfloor1/5\rfloor + \lfloor4/5\rfloor + \lfloor7/5\rfloor + \lfloor10/5\rfloor + \lfloor13/5\rfloor = 0+0+1+2+2 = 5\)）
  9. 用 Kummer 定理判断 \(\binom{10}{3}\) 被 3 整除几次。（答：\(3 + 7\) 在三进制下 \(10 + 21\) 有 1 次进位，整除 1 次；\(\binom{10}{3} = 120 = 3\cdot40\) \(\checkmark\)）
  10. 在 \((\frac{2}{5}, \frac{3}{7})\) 内找分母最小的分数。（答：\(\frac{5}{12}\)）
  11. \(x^2 - 2y^2 = 1\) 的前三组正整数解。（答：\((3,2), (17,12), (99,70)\)）

15. 推荐题单

难度 题目 考点
基础 洛谷 P5495 Dirichlet 前缀和 狄利克雷前缀和
基础 洛谷 P4213 【模板】杜教筛 杜教筛
基础 洛谷 P5491 【模板】二次剩余 Cipolla
基础 洛谷 P6091 【模板】原根 原根
基础 洛谷 P4195 【模板】扩展 BSGS exBSGS
基础 洛谷 P4718 【模板】Pollard-Rho Pollard-Rho
基础 洛谷 P5170 【模板】类欧几里得 类欧 \(f, g, h\)
基础 洛谷 P4720 【模板】扩展卢卡斯 exLucas
基础 洛谷 P5179 Fraction Stern–Brocot
提高 洛谷 P3768 简单的数学题 杜教筛 + 莫反
提高 洛谷 P6055 [RC-02] GCD 杜教筛
提高 洛谷 P3172 [CQOI2015] 选数 莫反 + 杜教筛
提高 洛谷 P5325 【模板】Min_25 筛 Min_25
提高 LOJ 6053 简单的函数 Min_25 / PN 筛
提高 洛谷 P6156 简单题 PN 筛
提高 洛谷 P3704 [SDOI2017] 数字表格 乘积形式莫反
提高 洛谷 P3312 [SDOI2014] 数表 离线 + 树状数组莫反
提高 洛谷 P2303 [SDOI2012] Longge 的问题 \(\sum\gcd\)
提高 洛谷 P2260 [清华集训2012] 模积和 二维整除分块
提高 SGU 261 Discrete Roots \(N\) 次剩余
挑战 洛谷 P4240 毒瘤之神的考验 \(\varphi(ij)\) + 根号分治
挑战 洛谷 P5518 [MtOI2019] 幽灵乐团 三合一莫反
挑战 洛谷 P4619 [SDOI2018] 旧试题 莫反 + 三元环
挑战 LOJ 6440 万能欧几里得 万能欧几里得
挑战 洛谷 P5325 加强 / LOJ 6235 素数计数 \(10^{11}\)

附录：一页纸总结

\[\text{狄利克雷前缀和：}\ \text{for } p:\ \text{for } i\uparrow:\ f[ip] \mathrel{+}= f[i]\qquad\text{差分：}i\downarrow,\ \mathrel{-}= \]

\[\text{杜教筛：}\ g(1)S(n) = \sum_{i\le n}(f*g)(i) - \sum_{d\ge2}g(d)S(\lfloor n/d\rfloor) \]

\[\text{PN 筛：}\ S_f(n) = \sum_{d\in\text{PN}}h(d)\,S_g(\lfloor n/d\rfloor),\quad h = f * g^{-1},\ g(p) = f(p) \]

\[\text{Min\_25：}\ g(n,j) = g(n,j-1) - f'(p_j)\big[g(\lfloor n/p_j\rfloor, j-1) - \textstyle\sum_{i<j}f'(p_i)\big] \]

\[\text{Cipolla：}\ x = (t + \sqrt{t^2 - a})^{\frac{p+1}{2}},\ t^2 - a\text{ 非二次剩余}\qquad p\equiv3\ (4):\ x = a^{\frac{p+1}{4}} \]

\[\text{N 次剩余：}\ x = g^y,\ ky \equiv \text{ind}(a) \pmod{p-1},\ \gcd(k,p-1)\text{ 个解} \]

\[\text{类欧：}\ f = nm - f(c, c-b-1, a, m-1)\ (a,b<c),\quad m = \lfloor\tfrac{an+b}{c}\rfloor \]

选筛：有 \(g\) 使 \(f*g\) 简单 → 杜教；\(f(p^k)\) 怪但 \(f(p)\) 像已知函数 → PN；\(f(p)\) 多项式 → Min_25。

posted @ 2026-09-20 09:01  ylzqwq  阅读(36)  评论(0)    收藏  举报