博弈论

博弈论讲义

以公平组合游戏为主线：P/N 状态、Nim 及其变形、SG 函数与 SG 定理、Wythoff、树与图上的删边游戏、翻硬币、有环图上的胜负平判定；末尾补充非公平博弈的极大极小与对称策略。
建议课时：3 课时（135 分钟）。前置：位运算、基本 DP、DFS。

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0. 课前引入

游戏：桌上有 21 颗石子，两人轮流拿，每次拿 1 到 3 颗，拿到最后一颗的人赢。你先手，怎么必胜？

答案：先拿 1 颗剩 20，之后对手拿 \(x\) 你就拿 \(4 - x\)，始终让剩余数是 4 的倍数。对手面对 4 的倍数时无论怎么拿都拿不到最后一颗。

这就是博弈论最核心的想法：找到一类"必败局面"，证明它满足两条性质：

1. 从必败局面出发，任何一步都走到非必败局面；
2. 从非必败局面出发，总存在一步走到必败局面。

只要证明了这两条，先手在非必败局面就必胜。本讲所有结论都是这个框架的实例。

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1. 公平组合游戏与 P/N 状态

1.1 定义

公平组合游戏（Impartial Combinatorial Game，ICG）满足：

• 两人轮流行动；
• 双方在同一局面下可选的行动完全相同（这是"公平"的含义，区别于象棋一方只能动红子）；
• 信息完全公开，无随机；
• 有限步内结束，无法行动者输（正常规则，Normal Play）。

1.2 P 态与 N 态

• P 态（Previous player wins）：先手必败。
• N 态（Next player wins）：先手必胜。

判定规则（正常规则下）：

1. 没有后继的局面（无法行动）是 P 态。
2. 存在一个后继是 P 态 \(\implies\) 当前是 N 态。
3. 所有后继都是 N 态 \(\implies\) 当前是 P 态。

1.3 状态图 DP

任何状态数不大的 ICG 都能直接按定义算：

// win[s] = 局面 s 是否先手必胜
bool solve(State s) {
    if (memo.count(s)) return memo[s];
    for (State t : moves(s))
        if (!solve(t)) return memo[s] = true;   // 有一个后继必败 → 我必胜
    return memo[s] = false;
}

所有博弈题的第一步都是用这段代码打表。 结论是从表里看出来的，不是背出来的。

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2. 经典模型

2.1 Bash 博弈

\(n\) 颗石子，每次取 \(1..m\) 颗，取最后一颗者胜。

结论：\((m+1) \mid n\) 时先手必败，否则必胜。

证明：\(n = 0\) 是 P 态。若 \((m+1) \mid n\)，取走 \(x \in [1,m]\) 后余数不为 0；若 \((m+1) \nmid n\)，取走 \(n \bmod (m+1)\) 颗即可回到倍数。

变形：每次取 \(a..b\) 颗（剩余不足 \(a\) 颗者无法行动而输）。P 态为 \(n \bmod (a+b) < a\)。

2.2 Nim 博弈

\(k\) 堆石子 \(a_1, \dots, a_k\)，每次从一堆取任意正数颗，取最后一颗者胜。

结论（Bouton 1901）：\(a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_k = 0\) 时先手必败，否则必胜。

证明：验证两条性质。

1. 若 \(S = \bigoplus a_i = 0\)，任取一堆改成 \(a_i' < a_i\)，则 \(a_i' \ne a_i\)，新异或和 \(S' = S \oplus a_i \oplus a_i' = a_i \oplus a_i' \ne 0\)。
2. 若 \(S \ne 0\)，设 \(S\) 的最高位为第 \(d\) 位。必存在某堆 \(a_i\) 第 \(d\) 位为 1（否则 \(S\) 第 \(d\) 位为 0）。令 \(a_i' = a_i \oplus S\)。因为第 \(d\) 位由 1 变 0，更高位不变，所以 \(a_i' < a_i\)，是合法操作。新异或和 \(S \oplus a_i \oplus a_i' = S \oplus S = 0\)。\(\blacksquare\)

构造必胜走法：

int s = 0;
for (int x : a) s ^= x;
if (s == 0) { puts("lose"); return; }
for (int i = 0; i < k; i++)
    if ((a[i] ^ s) < a[i]) {           // 这一堆改成 a[i]^s
        printf("take %d from pile %d\n", a[i] - (a[i] ^ s), i);
        break;
    }

2.3 Nim 的变形

（a）Anti-Nim / 反 Nim（洛谷 P4279）：取最后一颗者输。

结论：先手必胜 \(\iff\)（所有堆都是 1 且异或和为 0）或（存在堆 \(> 1\) 且异或和 \(\ne 0\)）。

证明思路：全是 1 时结论显然（堆数奇偶）。存在堆 \(>1\) 时：若异或和 \(\ne 0\)，按 Nim 策略走，但当只剩一堆 \(>1\) 时把它取成 0 或 1，使剩余 1 的堆数为奇；若异或和 \(=0\)，对手总能这样对付你。

（b）阶梯 Nim：台阶从 0 开始编号，第 \(i\) 级有 \(a_i\) 颗石子，每次可把第 \(i\) 级（\(i \ge 1\)）的任意正数颗移到第 \(i-1\) 级，无法移动者输。

结论：等价于奇数级台阶上的 Nim，即 \(a_1 \oplus a_3 \oplus a_5 \oplus \cdots\)。

理由：对手若移动偶数级台阶上的石子到奇数级，你把同样数量再移下一级到偶数级，奇数级局面不变。所以偶数级石子不影响胜负。

（c）Moore's Nim\(_k\)：每次可以从至多 \(k\) 堆各取任意正数颗。

结论：把每堆写成二进制，每一位上的 1 的个数对 \((k+1)\) 取模。全为 0 时先手必败。\(k=1\) 即普通 Nim。

（d）Lasker's Nim（HDU 3032）：每次可取任意颗，或把一堆分成两堆非空。

结论（打表得）：\(SG(0) = 0\)；\(n \bmod 4 \in \{1, 2\}\) 时 \(SG(n) = n\)；\(n \bmod 4 = 3\) 时 \(SG(n) = n+1\)；\(n \bmod 4 = 0\)（\(n>0\)）时 \(SG(n) = n-1\)。

2.4 Wythoff 博弈

两堆石子 \((a, b)\)，每次从一堆取任意颗，或从两堆取相同颗数，取完者胜。

结论：P 态恰为 \(\left(\lfloor k\varphi \rfloor,\ \lfloor k\varphi \rfloor + k\right)\)，\(k = 0, 1, 2, \dots\)，\(\varphi = \dfrac{1+\sqrt5}{2}\)。

前几个 P 态：\((0,0), (1,2), (3,5), (4,7), (6,10), (8,13), (9,15)\)。

观察：每个正整数恰好出现在一个 P 态中（Beatty 序列性质），且差 \(b - a = k\) 恰好取遍所有自然数。这保证了从任何非 P 态都能一步到 P 态。

bool isP(ll a, ll b) {
    if (a > b) swap(a, b);
    ll k = b - a;
    ll x = (ll)floorl(k * (1 + sqrtl(5.0L)) / 2);
    return x == a;
}

\(a, b \le 10^{18}\) 时精度要用 long double，或用 \(\varphi\) 的连分数 / 大整数近似。模板：洛谷 P2252。

2.5 斐波那契博弈

一堆 \(n\) 颗石子，先手第一次不能全取，之后每人取的颗数不超过对手上一次的两倍，取完者胜。

结论：\(n\) 是斐波那契数时先手必败，否则必胜。

思路：Zeckendorf 定理说任意正整数可唯一表示为若干不相邻斐波那契数之和。必胜策略是每次取掉表示中最小的那一项。

2.6 欧几里得博弈（洛谷 P1290）

两个正整数 \((a, b)\)，\(a \ge b\)，每次把大数减去小数的正整数倍且结果非负，使一个数变为 0 者胜。

结论：若 \(b \mid a\) 或 \(a \ge 2b\)，先手必胜；否则先手只能走到 \((b, a - b)\)，递归判断并翻转胜负。

理由：\(a \ge 2b\) 时先手可以选择走到 \((b, a \bmod b)\) 或 \((b, a \bmod b + b)\) 之一，两者胜负相反，先手挑对自己有利的。

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3. SG 函数与 SG 定理

3.1 定义

\[\text{mex}(S) = \min\{x \in \mathbb{N} : x \notin S\} \]

\[SG(x) = \text{mex}\{SG(y) : x \to y\} \]

终止态 \(SG = 0\)。

性质：\(SG(x) = 0 \iff x\) 是 P 态。（\(SG = 0\) 说明没有后继 \(SG = 0\)，即所有后继都是 N 态；\(SG > 0\) 说明存在后继 \(SG = 0\)。）

3.2 SG 定理（Sprague–Grundy）

若一个游戏由若干独立子游戏组成，每次只能在一个子游戏中行动，则

\[SG(\text{总}) = SG(G_1) \oplus SG(G_2) \oplus \cdots \oplus SG(G_k) \]

证明：与 Nim 的证明完全相同。关键是 \(SG(x) = g\) 意味着 \(x\) 能走到 \(SG\) 为 \(0, 1, \dots, g-1\) 的任何后继（mex 的定义），这正是"一堆 \(g\) 颗石子"的行为。多出来的"走到更大 \(SG\)"的走法对手可以走回来。

意义：任何 ICG 都等价于一堆 \(SG(x)\) 颗石子的 Nim。Nim 是 ICG 的"标准型"。

3.3 计算模板

// 取石子集合 moves = {m1, m2, ...}，求 sg[0..n]
int sg[N];
for (int x = 0; x <= n; x++) {
    bool vis[MAXSG] = {};
    for (int m : moves) if (x >= m) vis[sg[x - m]] = true;
    int g = 0; while (vis[g]) g++;
    sg[x] = g;
}

3.4 打表找规律

周期性定理：若取法集合 \(\{m_i\}\) 有限、最大为 \(M\)，则 \(SG\) 序列最终是周期的。若从某处起观察到长度 \(p\) 的周期持续了 \(\ge 2M\) 项（保守起见取更长），则周期成立。

例：取法 \(\{1, 3, 4\}\)：

\(x\)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
\(SG\)	0	1	0	1	2	3	2	0	1	0

周期 7：\(0,1,0,1,2,3,2\)。

讲课提示：让学生现场用 3.3 的代码跑取法 \(\{1,2\}\)（\(SG = x \bmod 3\)）和 \(\{2,3\}\)，练习"从表里读周期"。

3.5 例题：HDU 1848 Fibonacci again and again

三堆石子，每次从一堆取斐波那契数颗。\(SG\) 用 3.3 模板（moves = 斐波那契数），三堆异或。

3.6 例题：洛谷 P2148 [SDOI2009] E&D

\(2n\) 堆两两配对 \((a, b)\)，每次选一对，删掉一堆，把另一堆分成两个非空堆组成新的一对。无法操作者输。

结论（打表得）：$SG(a, b) = $ 使 \((a-1)\) 和 \((b-1)\) 在该位同时为 0 的最低二进制位编号（从 0 计）。

验证：\((1,1)\) 无法操作，\(0 \mid 0\) 第 0 位为 0，\(SG = 0\)。\(\checkmark\) \((2,1)\)：\(1 \mid 0 = 1\)，第 0 位为 1，第 1 位为 0，\(SG = 1\)；实际只能走到 \((1,1)\)，\(\text{mex}\{0\} = 1\)。\(\checkmark\)

3.7 例题：洛谷 P3185 [HNOI2007] 分裂游戏

\(n\) 个瓶子，每次选 \(i < j \le k\)，从 \(i\) 取一颗，往 \(j, k\) 各放一颗。无法操作者输。

分析：每颗豆子独立。位置 \(i\) 的一颗豆子的 \(SG\)：

\[SG(i) = \text{mex}\{SG(j) \oplus SG(k) : i < j \le k \le n\} \]

从后往前 \(O(n^3)\) 算。总 \(SG\) = 所有豆子异或 = 奇数颗豆子的位置的 \(SG\) 异或（偶数颗抵消）。输出字典序最小的必胜走法：枚举 \((i,j,k)\) 检查走后 \(SG\) 是否为 0。

3.8 例题：洛谷 P2575 高手过招

\(20 \times 20\) 棋盘每行独立，每行是一个状态压缩的子游戏（棋子向右移到最近空位）。每行 \(2^{20}\) 状态记忆化 \(SG\)，行间异或。

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4. 图上的游戏

4.1 树上删边（Green Hackenbush 树版）

有根树，每次删一条边，与根不连通的部分一起消失。无法操作者输。

结论（Colon Principle）：

\[SG(u) = \bigoplus_{v \in \text{son}(u)}\left(SG(v) + 1\right) \]

叶子 \(SG = 0\)。

理由：一条链（竹子）长 \(k\) 的 \(SG\) 为 \(k\)（每次可以剪到任意更短）。以 \(u\) 为根的各子树独立，子树 \(v\) 加上边 \((u,v)\) 相当于"\(SG(v)\) 的游戏上面多一条边"，其 \(SG\) 为 \(SG(v) + 1\)。

int dfs(int u, int p) {
    int g = 0;
    for (int v : adj[u]) if (v != p) g ^= dfs(v, u) + 1;
    return g;
}

4.2 有环无向图删边（Fusion Principle）

一般无向图，删边后与根不连通的部分消失。

融合原理：环上所有点可以融合成一个点，环的每条边变成这个点的自环；一个自环等价于一条悬挂边（\(SG\) 贡献 1）。于是：

• 奇环：融合后剩 1 条自环 \(\to\) 等价于一条悬挂边。
• 偶环：融合后剩 0 条自环 \(\to\) 等价于一个点。

实际实现：Tarjan 找环 / 点双，把环缩成点后按 4.1 做。经典题：POJ 3710 Christmas Game。

4.3 有向图上的棋子游戏

棋子在有向图上，每次沿一条边移动，无法移动者输。

DAG：直接 \(SG(u) = \text{mex}\{SG(v) : u \to v\}\)，多个棋子异或。

有环：可能出现平局（双方都不愿走进必败）。用逆拓扑：

// state: 0 未定, WIN, LOSE；deg[u] = 出度；rev 为反图
queue<int> q;
for (int u = 1; u <= n; u++)
    if (deg[u] == 0) state[u] = LOSE, q.push(u);
while (!q.empty()) {
    int v = q.front(); q.pop();
    for (int u : rev[v]) {
        if (state[u]) continue;
        if (state[v] == LOSE) state[u] = WIN, q.push(u);       // 能走到必败 → 必胜
        else if (--deg[u] == 0) state[u] = LOSE, q.push(u);    // 所有后继都必胜 → 必败
    }
}
// 仍为 0 的点：平局

例题：洛谷 P6560 [SBCOI2020] 时光的流逝（多次询问，起点 / 终点集合变化，每次重跑）、CF 1033C Permutation Game。

4.4 例题：洛谷 P4101 [HEOI2014] 人人尽说江南好

\(n\) 堆各 1 颗，每次合并两堆，且堆大小不超过 \(m\)。无法合并者输。

分析：不是计算 \(SG\)，而是用对称 / 终局分析：最终局面所有堆都 \(> m/2\)（否则还能合并），总合并次数是确定的奇偶。谁能控制最终堆数的奇偶谁赢。具体：设最终堆数为 \(k\)，总操作 \(n - k\) 步。先手希望 \(n-k\) 为奇。分析得答案只与 \(n \bmod 2\)、\(m\) 的关系有关。

这类题的教训：不是每道博弈题都要算 SG。 操作总步数固定时，直接数奇偶。

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5. 翻硬币游戏

5.1 模型

一排硬币，每次按规则翻转若干枚，要求最右边被翻的那枚必须由正变反。无法操作者输。

核心结论：局面的 \(SG\) = 所有正面硬币位置的 \(SG\) 的异或，其中位置 \(i\) 的 \(SG\) 定义为"只有第 \(i\) 枚正面"时的 \(SG\)。

理由：翻转操作把"最右那枚"的正面消掉，同时可能翻其他若干枚。翻其他枚等价于把这些位置的 \(SG\) 异或进来，而 \(x \oplus x = 0\) 说明重复翻等于没翻，所以每个正面硬币可以看成独立子游戏。

5.2 常见规则的位置 SG

规则（每次翻转……）	\(SG(i)\)（位置从 1 起）
1 枚	\(1\)
1 或 2 枚	\(i\)
1、2 或 3 枚（Mock Turtles，位置从 0 起）	\(2i\) 若 \(\text{popcount}(i)\) 奇，否则 \(2i+1\)
连续 \(k\) 枚（Ruler 游戏）	\(\text{lowbit}(i)\)

"翻 1 或 2 枚"就是 Nim：翻第 \(i\) 枚和第 \(j < i\) 枚 \(\iff\) 把一堆 \(i\) 变成 \(j\)。

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6. 非公平与非组合博弈

6.1 极大极小与博弈 DP

双方目标不同（一人求最大一人求最小），或双方可选动作不同，SG 不适用。直接 DP：

\[f(s) = \max_{s \to t}\left(\text{gain} - f(t)\right)\quad\text{或}\quad f(s) = \begin{cases}\max_t f(t) & \text{轮到 A} \\ \min_t f(t) & \text{轮到 B}\end{cases} \]

例题：洛谷 P2734 [USACO3.3] 游戏 A Game。两人轮流从序列两端取数，各自求总和最大。区间 DP：\(f[l][r]\) = 当前玩家在 \([l,r]\) 上能得到的净优势，\(f[l][r] = \max(a_l - f[l+1][r],\ a_r - f[l][r-1])\)。

6.2 对称策略 / 模仿策略

例题：洛谷 P1288 取数游戏 II：环上 \(n\) 条边有权，棋子在一点，每次沿非零边走并把该边权清零，无法走者输。结论：从起点顺时针 / 逆时针数到第一个 0 边之前的边数，若有一个方向是偶数则先手胜。

一般原则：若局面关于某个中心对称，后手可以永远"复制"先手的操作，则后手必胜；先手若能一步破坏对称并把对称留给自己，则先手必胜。

6.3 策梅洛定理

有限步、双人、轮流、完全信息、无随机的游戏中，必有一方有不败策略。这保证了"必胜 / 必败 / 平局"三分是完备的，4.3 的算法有意义。

6.4 Every-SG（选讲）

规则改为：每次必须在每个还能行动的子游戏中都行动一次。

结论：先手必胜 \(\iff\) 所有子游戏中，必胜子游戏的最大步数 \(\text{step}\) 为奇数。其中

\[\text{step}(x) = \begin{cases} 0 & \text{终止态} \\ \max\{\text{step}(y) + 1 : y \text{ 是 P 态后继}\} & x \text{ 是 N 态} \\ \min\{\text{step}(y) + 1 : y \text{ 后继}\} & x \text{ 是 P 态}\end{cases} \]

直觉：必胜方尽量拖，必败方尽量快结束。例题：HDU 3595 GG and MM。

6.5 不平等博弈（选讲）

红蓝 Hackenbush 一类双方可选动作不同的游戏，用超现实数刻画局面值。竞赛极少出现，知道名词即可。

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7. 解题方法论

1. 确认是不是 ICG：双方动作相同？无随机？正常规则还是反常规则（取最后者输）？
2. 写暴力打表：用 1.3 或 3.3 的模板算小规模 \(SG\) / 胜负，这一步不能省。
3. 看表猜结论：周期？与二进制有关？与某个数论函数有关（斐波那契、黄金分割）？
4. 验证结论：用两条性质（P 态走不到 P 态；N 态能走到 P 态）证明，或至少用大范围打表对拍。
5. 能分解就分解：找独立子游戏，用 SG 定理异或。
6. 要输出方案：枚举第一步，检查走后 \(SG\) 是否为 0。

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8. 常见错误清单

1. 正常规则与反常规则混淆。 Anti-Nim 的结论与 Nim 完全不同，先看清"取最后者胜 / 负"。
2. 子游戏不独立却用了 SG 定理。 一次操作影响多个子游戏时不能直接异或。
3. 阶梯 Nim 数错奇偶级。 地面是第 0 级，第 1、3、5 级参与异或。
4. Wythoff 精度。 \(10^{18}\) 级别必须用 long double 或整数方法。
5. 有环有向图直接算 SG。 会死循环或错误，必须用 4.3 的逆拓扑并处理平局。
6. 树上删边忘记 \(+1\)。 是 \(\bigoplus(SG(v) + 1)\)，不是 \(\bigoplus SG(v)\)。
7. 翻硬币忘记"最右必须由正变反"。 这条规则保证游戏有限，也是"正面硬币独立"的前提。
8. 周期没验证够长就下结论。 至少观察 \(2M\) 项以上。
9. mex 与 max 混淆。 \(SG\) 用 mex，不是取最大值加一。
10. 总步数固定的题去算 SG。 先看能否直接数奇偶（4.4）。

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9. 课堂练习

1. Bash 博弈 \(n = 20\)，\(m = 3\)，先手胜负？（答：\(20 \bmod 4 = 0\)，必败）
2. Nim \((3, 4, 5)\)，先手胜负？若胜，第一步怎么走？（答：\(3 \oplus 4 \oplus 5 = 2 \ne 0\) 必胜；从 3 的堆取 2 颗变 1，得 \((1,4,5)\)，异或为 0）
3. Wythoff \((3, 5)\) 与 \((4, 6)\) 的先手胜负。（答：\((3,5)\) 必败；\((4,6)\) 必胜）
4. 取法 \(\{1, 2\}\) 的 \(SG\) 通项。（答：\(x \bmod 3\)）
5. Anti-Nim \((1, 1, 1)\) 先手胜负？（答：全 1 且异或 \(=1 \ne 0\)，必败）
6. 有根树：根 1 连 2 和 4，2 连 3。树上删边先手胜负？（答：\(SG(1) = (SG(2)+1) \oplus (SG(4)+1) = 2 \oplus 1 = 3\)，必胜）
7. 斐波那契博弈 \(n = 13\) 与 \(n = 20\)。（答：13 必败，20 必胜）
8. 阶梯 Nim，第 0..4 级分别 \(2, 3, 1, 5, 4\) 颗。（答：\(3 \oplus 5 = 6 \ne 0\)，必胜）
9. 证明 Nim 中若 \(S \ne 0\)，则恰好存在奇数个 \(i\) 满足 \((a_i \oplus S) < a_i\)。
10. 写出取法 \(\{2, 3\}\) 的 \(SG\) 前 10 项并找周期。（答：\(0,0,1,1,2,0,0,1,1,2\)，周期 5）

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10. 推荐题单

难度	题目	考点
入门	洛谷 P2197 【模板】Nim 游戏	Nim
入门	洛谷 P1290 欧几里德的游戏	递归胜负
入门	洛谷 P2252 取石子游戏	Wythoff
入门	洛谷 P1288 取数游戏 II	对称策略
基础	洛谷 P4279 [SHOI2008] 小约翰的游戏	Anti-Nim
基础	洛谷 P2734 游戏 A Game	极大极小区间 DP
基础	HDU 1848 Fibonacci again and again	SG 模板
基础	HDU 3032 Nim or not Nim	Lasker's Nim 打表
基础	洛谷 P2148 [SDOI2009] E&D	SG 找规律
提高	洛谷 P3185 [HNOI2007] 分裂游戏	位置 SG + 输出方案
提高	洛谷 P2575 高手过招	状压 SG
提高	洛谷 P4101 [HEOI2014] 人人尽说江南好	终局奇偶
提高	洛谷 P6560 [SBCOI2020] 时光的流逝	有环图胜负平
提高	POJ 3710 Christmas Game	树 / 环删边，融合原理
提高	洛谷 P3235 [HNOI2014] 江南乐	SG + 整除分块优化
挑战	洛谷 P2599 [ZJOI2009] 取石子游戏	非 SG 的区间博弈
挑战	洛谷 P5675 [GZOI2017] 取石子游戏	Nim + 计数 DP
挑战	HDU 3595 GG and MM	Every-SG

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附录：一页纸总结

\[\text{P 态：无后继，或所有后继为 N 态}\qquad \text{N 态：存在后继为 P 态} \]

\[\text{Bash：}\ (m+1) \mid n \text{ 必败}\qquad \text{Nim：}\ \bigoplus a_i = 0 \text{ 必败}\qquad \text{阶梯 Nim：}\ \bigoplus_{i \text{ 奇}} a_i \]

\[\text{Anti-Nim 先手胜} \iff (\text{全 } 1 \wedge \oplus = 0) \vee (\exists a_i > 1 \wedge \oplus \ne 0) \]

\[\text{Wythoff P 态：}\ (\lfloor k\varphi\rfloor,\ \lfloor k\varphi\rfloor + k)\qquad \text{斐波那契博弈：}\ n \in \text{Fib} \text{ 必败} \]

\[SG(x) = \text{mex}\{SG(y)\},\qquad SG(G_1 + \cdots + G_k) = \bigoplus SG(G_i),\qquad SG = 0 \iff \text{P 态} \]

\[\text{树上删边：}\ SG(u) = \bigoplus_{v}(SG(v) + 1)\qquad \text{融合原理：奇环} \to \text{一条边，偶环} \to \text{一个点} \]

流程：确认 ICG → 暴力打表 → 猜规律 → 两条性质验证 → 分解子游戏异或 → 枚举第一步输出方案。