[SDOI2012] Longge 的问题——数学题

description

求\(\sum_{i=1}^{n} \gcd(i,n)\)

设\(f(k)=\sum_{gcd(i,n)==k} 1\),则有\(\sum_{i=1}^{n}\gcd(i,n)=\sum_{d|n}d\cdot f(d)\),现欲求函数\(f(k)\).

可以发现,\(f(k)=\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)==k]=\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}[\gcd(i,\lfloor \frac{n}{k} \rfloor)==1]=\phi(\lfloor \frac{n}{k} \rfloor)\)

故:原式\(=\sum_{d|n}d\cdot \phi(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)\)