速通 数学分析
函数极限
Thm 1.1（Heine 定理）：\(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\) 当且仅当任意数列 \(x_k\to x_0\) 有 \(\lim_{k\to +\infty} f(x_k)=A\)（必要性显然，充分性考虑反证）
例：证明 \(\sin(1/x)\) 在 \(0\) 处发散（取一个趋于 \(0\) 的数列使 \(\sin(1/x_k)\) 发散）。
Thm 1.2（Cauchy 收敛准则）：\(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 存在当且仅当对任意 \(\varepsilon\) 存在 \(x_0\) 的一个去心邻域使得邻域中任意 \(x,y\) 满足 \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\)
必要性显然，充分性考虑任取一个数列 \(x_k\to x_0\)，\(f(x_k)\to A\)，再任取一个数列 \(y_k\to x_0\)，证明 \(f(y_k)\to A\)，然后用 Heine 定理。
练习：求 \(\lim_{x\to 0}a^x\)，\(\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}\)（令 \(t=1/x\)，再用夹逼定理放缩转化为数列极限）
求 \(\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)（夹逼定理）
连续函数
Df 2.1：\(E\) 上的连续函数全体记作 \(\mathbb{C}(E)\)。
练习：证明下列函数连续
- \(\sin x\)：和差化积。
- \(\tan x\)：考虑 \(\sin x,\cos x\) 均连续。
- \(e^x,\ln x\)：直接证，或者用上面数列极限的方法。
Thm 2.1：连续函数的复合必连续（可用 Heine 定理）
Thm 2.2：严格单调函数的反函数必连续（画图感受一下）
Df 2.2：三类间断点
- 左右极限存在不相等（跳跃间断点）。
- 左右极限不存在。
- 左右极限存在相等但不等于 \(f(x_0)\)（可去间断点）。
Thm 2.3：连续函数有介值性（取 \(\xi=\sup\{f(x)<\eta\}\)，可以证明 \(f(\xi)=\eta\)）
Thm 2.4：连续函数在紧集上有最大最小值。
推论：\(\mathbb{R}^n\) 上任意范数等价。证明考虑 \(|x|=(\sum x_i^2)^{\frac{1}{2}}\) 为标准范数，\(f(x)\) 为任意范数，则 \(x/|x|\in S^{n-1}\)，故 \(f(x/|x|)\) 有最大最小值。
Df 2.3（一致连续）：任意 \(\varepsilon\) 存在 \(\delta\) 使得 \(|x-y|<\delta\) 有 \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\)。
等价定义：任意数列 \(x_k-y_k\to 0\) 有 \(f(x_k)-f(y_k)\to 0\)。
Thm 2.5：紧集上连续和一致连续等价。
证明考虑列紧性定理反证或有限覆盖定理正着证。有限覆盖定理需要讨论取的邻域大小。
连通和道路连通
练习：证明 \(\{(x,\sin(1/x))\}\cup \{0,0\}\) 连通但不道路连通（若存在 \(x_0\) 到 \(0\) 的道路，则对道路函数 \(\tau\) 取极限可知 \(\sin(1/x)\to 0\)，矛盾）
Thm 3.1：\(A\subseteq E\)，\(B=E\setminus A\)，下列命题等价：
- \(A\) 相对开。
- \(A=(A\cup E^c)^o\cap E\)。
- \(B=\overline{B}\cap E\)。
- \(B\) 相对闭。
证明是离散数学练习题。
Thm 3.2：\(f:E\to \mathbb{R}^n\) 连续当且仅当对任意开集 \(V\)，\(f^{-1}(V)\) 是 \(E\) 的相对开集。（证明就是定义）
推论：连续函数将连通集映到连通集。
Thm 3.3：连通集 \(E\) 的子集中既相对开又相对闭的子集只有空集和 \(E\)。
考虑找到 \(A\)，令 \(B=E\setminus A\)，则 \(A,B\) 都是相对闭集，定义 \(U_1=\{d(x,A)<d(x,B)\},U_2=\{d(x,B)<d(x,A)\}\)，其中 \(d(x,A)=\inf_{y\in A} d(x,y)\)，则 \(U,V\) 相对开且不交
相关定理：欧式空间的分离性质。两个不交闭集必可扩充为两个不交开集。
推论：连通集的等价定义。\(E\) 为连通集当且仅当 \(E\) 不可被划分为非空相对开集。
Thm 3.4：\(\mathbb{R}\) 上道路连通集必为区间。
取 \(a=\inf I,b=\sup I\)，用介值定理证明任意 \(y\in (a,b)\) 满足 \(y\in I\)。
方向极限和累次极限
Thm 4.1：\(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x)=A\)，当且仅当沿任意趋于 \((x_0,y_0)\) 的曲线都有 \(f(x,y)\to A\)。
例：证明 \(\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}\)，\(\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}\) 不存在。
Df 4.1：形如 \(\lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0} f(x,y)\) 的极限被称为二次极限。
Thm 4.2：若二重极限存在且等于 \(A\)，则二次极限满足
特别的，当 \(h(x)=\lim_{y\to y_0} f(x,y)\) 附近存在时，二次极限存在。
导数
练习：证明 \(\sin x\)，\(\ln x\)，\(x^{\alpha}\) 的导数。（最后一个考虑引入 \(\ln\)，用 \(\ln\) 有关的函数极限）
Thm 5.1：下面四个定理均成立
- 若 \(f_+'(x)>0\)，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 严格单调递增。
- 若 \(f_+'(x)\geq 0\)，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 单调递增。
- \(\inf f'(x)\leq \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}\leq \sup f'(x)\)。
- 若 \(f'(x)=0\)，则 \(f(x)\) 恒为常数。
第一个定理若 \(a<\alpha<\beta<b\) 满足 \(f(\alpha)\geq f(\beta)\)，则最大值 \(\eta\) 满足 \(\eta\in [\alpha,\beta)\)，可知 \(f'(\eta)\leq 0\)。
第二个定理令 \(F(x)=f(x)+\varepsilon x\)。
第三个定理构造函数，第四个定理用第三个定理。
Df 5.1（方向导数）\(\lim_{t\to 0^+}\frac{f(x_0+te)-f(x_0)}{t},e\in S^{n-1}\) 为方向导数，记作 \(\frac{\partial f}{\partial e}(x_0)\)。若 \(e=e_k\)，则称其为偏导数，记作 \(f_{x_k}(x_0)\)。
Df 5.2（可微）：若存在线性变换 \(T\) 使得 \(f(x)=f(x_0)+T(x-x_0)+o(x-x_0)(x\to x_0)\)，则 \(f\) 在 \(x_0\) 可微且 \(T\) 为 \(f\) 在 \(x_0\) 的全微分，记作 \(\text{d}_{x_0}f\)。
判断可微：求出偏导后考虑余项是否为 \(o(x-x_0)\)。
我们有 \(\text{d}_{x_0}f=f_x(x_0)\text{d}x\)。\(\text{d}x\) 可看作单位映射。
Thm 5.2：若 \(A\) 为 \(T\) 的表示矩阵，则 \(A=(f_{x_1}(x_0),f_{x_2}(x_0),\cdots,f_{x_n}(x_0))=f_x(x_0)\)。
Thm 5.3：若偏导在 \(x_0\) 附近连续则函数可微。
只考虑二维，对 \(f(x,y)\) 用两次微分中值定理。
Df 5.4（梯度）：对于函数 \(f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\)，则 \(\nabla f (x_0)\) 定义为 \(f_x(x_0)\) 的转置。
显然有 \(\frac{\partial f}{\partial e}(x_0)=\langle \nabla f(x_0),e\rangle\)。故 \(e\) 与梯度平行时方向导数取最大值。
Thm 5.4：如果 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 附近有一阶偏导数，且 \(f_{yx}\) 存在，且在 \((x_0,y_0)\) 处 \(f_{yx}\) 连续，证明 \(f_{xy}\) 存在且与 \(f_{yx}\) 相等。
不妨设 \((x_0,y_0)=(0,0)\)，令 \(\Delta(x,y)=f(x,y)-f(x,0)-f(0,y)+f(0,0)\)，则
对 \(\Delta(x,y)\) 用 Lagrange 中值定理可得 \(\Delta(x,y)=xf_x(\xi,y)-xf_x(\xi,0)\)。再用微分中值定义得到 \(\Delta(x,y)=xyf_{yx}(\xi,\eta)\)。由连续性知：
所以二重极限存在且等于 \(f_{yx}(0,0)\)。由 Thm 4.2，因为 \(\lim_{y\to 0}\Delta(x,y)(xy)^{-1}\) 存在，所以 \(f_{xy}(0,0)\) 存在且和 \(f_{yx}(0,0)\) 相等。
微分中值定理
Thm 6.1（Fetmat）：极值点若可导，则满足 \(f'(x_0)=0\)。
Thm 6.2（Rolle）：\(f\) 在 \([a,b]\) 连续，在 \((a,b)\) 可导，且 \(f(a)=f(b)\)，则存在 \(\xi\in (a,b)\) 使得 \(f‘(\xi)=0\)。
证明考虑若 \(f(x)\) 不是常数，则最大值和最小值不同时在端点取到，根据 Fetmat 定理可知导数为 \(0\)。
推论：
- Lagrange 中值定理：存在 \(\xi\in (a,b)\) 使得 \(f(b)-f(a)=(b-a)f'(\xi)\)。
- Cauchy 中值定理：若 \(g(b)\neq g(a)\) 且 \(f'(x)^2+g'(x)^2\neq 0\)，则存在 \(\xi\in (a,b)\) 使得 \(\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)。
Thm 6.3（Darbox）：1. 导函数有介值性。2. 导函数不存在第一类间断点。
第一个结论先证明 \(f'(a)>0,f'(b)<0\) 时存在 \(f'(\xi)=0\)（考虑最大值在中间）然后令 \(F(x)=f(x)-\eta x\)。
第二个结论，用 Lagrange 中值定理证明若 \(f'(x^+)\) 存在则 \(f'(x_0^+)=f'_+(x_0)\)。
Df 6.1：\(\Omega\) 为凸区域当且仅当对任意 \(x,y\in \Omega\) 满足对 \(\alpha\in [0,1]\) 都有 \(\alpha x+(1-\alpha)y\in \Omega\)。
Thm 6.4：\(f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) 满足 \(f\) 在 \(\overline{\Omega}\) 上连续，\(\Omega\) 上可微，则：
- 任意 \(x,y\in \overline{\Omega}\)，存在 \(\xi\in \Omega\) 满足 \(f(y)-f(x)=\langle\nabla f(\xi),(y-x)\rangle\)（对 \(x,y\) 线段用 Lagrange 中值）
- \(f\) 在 \(\overline{\Omega}\) 上满足 Lipschitz 条件 \(|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|\)，当且仅当 \(|\nabla f(x)|\leq M\)。（充分性考虑套上面定理用 Cauchy-Schwarz 不等式，必要性考虑令 \(y=x+tv\)，取极限 \(t\to 0\) 得到方向导数，与梯度建立联系）
推广：\(f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) 满足 \(f\) 在 \(\overline{\Omega}\) 上连续，\(\Omega\) 上可微，则 \(f\) 满足 Lipschitz 条件 \(|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|\) 当且仅当 \(||f_x(x)||\leq M\)。其中矩阵范数 \(||A||\) 定义为 \(\max_{e\in S^{n-1}}|Ae|\)。
任取 \(v\in S^{n-1}\)，则 Lipschitz 条件等价于 \(|v\cdot (f(x)-f(y))|\leq M|x-y|\)，令 \(g(x)=v \cdot f(x)\)，拆开算算可以知道 \(\nabla g(x)=(v^Tf_x(x))^T\)，故使用 Thm 6.4 知道上面的条件等价与 \(|f_x(x)^Tv|\leq M\)。等价于 \(||f_x(x)||\leq M\)。
Thm 6.5：\(\varphi\) 满足在 \([a,b]\) 上 \(|\varphi'(x)|\leq M|\varphi(x)|\) 且 \(\varphi(a)=0\)，则 \([a,b]\) 上 \(\varphi(x)\equiv 0\)。
可以构造 \(F(x)=\varphi(x)^2\)，也可以用 Lagrange 中值定理证明局部为 \(0\)。
L'Hopital 法则
洛必达的证明都是固定一个点然后用 Cauchy 中值。
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