速通 离散数学
命题逻辑
基本概念
命题的定义
神秘例子：\(1+101=110\) 在十进制范围真值为假，在二进制范围真值为真。这个命题的真值与所讨论问题的范围有关。
神秘例子：”我正在说假话“不是命题（悖论不是命题）
命题变项：\(P,Q\) 等，真值不确定。
简单命题与复合命题：复合命题就是用联结词连接简单命题构成的命题。
解释：把命题变项赋值。
联结词
与非 \(A\uparrow B=\lnot(A\land B)\)，或非 \(A\downarrow B=\lnot (A\lor B)\)。
合式公式的类型：矛盾式，重言式，可满足式。
重言式的代入规则
示例：已知 \(A\lor \lnot A\) 是重言式，代入 \(\frac{A}{P\to Q}\)，所以 \((P\to Q)\lor\lnot(P\to Q)\) 是重言式。
命题形式化
注意析取和异或的辨析。例：我今天晚上要么在图书馆要么在宿舍（\(P\overline{\lor}Q\)，因为不能同时做）。
神秘例子：张三或李四都能做这件事（两人都能做，\(P\land Q\)）
连接词的优先级
当然建议加上括号……
波兰表达式
实在不行就画表达式树然后前序遍历（波兰式）或后序遍历（逆波兰式）。波兰式运算符放前面，逆波兰式运算符放后面。
用波兰式求值的方法：从后往前扫，遇到数丢到栈里面，遇到运算符把栈顶两个数拿出来运算，最后栈顶就是答案。
例子：\(P\lor ((Q\lor R)\land S)\) 的波兰式是：\(\lor P \land\lor QRS\)，逆波兰式是 \(PQR\lor S\land\lor\)。注意命题变项的顺序不要放反。
等值和推理运算
等值和推理运算（写公式名称）
双重否定律，结合律，交换律，分配律，等幂律，吸收律，摩根律，同一律，零律，蕴含等值式，等价等值式，假言异位，等价否定等值式，归谬论。
容易忘的名字（基本等值公式）：
- \(P\lor P=P\)（等幂律，两个一样的命题变项运算）
- \(P\lor(P\land Q)\)（吸收率，其实就是分配律跳了等幂律的几步）
- \(P\lor F=P,P\land T=P,T\to P=P,T\leftrightarrow P=P\) 或 \(P\to F=\lnot P,F\leftrightarrow P=\lnot P\)（同一律，\(T,F\) 和 \(P\) 运算得到 \(P\) 或 \(\lnot P\)）
- \(P\lor T=T,P\land F=F,P\to T=T,F\to P=T\)（零律，\(T,F\) 与 \(P\) 运算得到 \(T\) 或 \(F\)）
- \(P\lor \lnot P=T,P\land \lnot P=F\)（补余律，\(P\) 和 \(\lnot P\) 运算）
（常用等值公式）
- \(P\to Q=\lnot Q\to \lnot P\)（假言异位，其实就是逆否命题）
- \(P\to (Q\to R)=(P\land Q)\to R\)（前提合取合并）
- \(P\leftrightarrow Q\) 的主析取范式和主合取范式（用取真 / 取假来描述双条件）
- \(P\to (Q\to R)=Q\to (P\to R)\)（前提交换）。
- \((P\to R)\land (Q\to R)=(P\lor Q)\to R\)（前提析取合并）
用途：判别命题公式的类型（重言式，矛盾式，可满足式）、验证公式等值
最多可以定义的联结词的数量：\(2^{2^n}\)，相当于 \(\{0,1\}^n\to \{0,1\}\) 的函数个数。
联结词的完备集：\(\{\lnot,\land \},\{\lnot,\lor\}\) 都是完备的。
例子：证明 \(\{\lnot,\to\}\) 是完备的。
证明：\(P\lor Q=\lnot (P\to Q)\)，所以我们构造出来了 \(\lor\)，由于 \(\{\lnot,\lor\}\) 是完备的，所以 \(\{\lnot,\to\}\) 也是。
例子：证明 \(\{\uparrow\}\) 是完备的。
证明：\(P\uparrow P=\lnot P\)，所以我们有 \(\lnot\) 了。又 \(P\land Q=\lnot(P\uparrow Q)\)，所以我们构造出来了一个联结词的完备集。
对偶式（不考）
把 \(\land,\lor,T,F\) 换成 \(\lor,\land,F,T\)。
假设 \(A=A(P_1,P_2,\cdots,P_n)\)，\(A^-=A(\lnot P_1,\lnot P_2,\cdots,\lnot P_n)\)，则 \(\lnot A=A^{*-}\)。
其实是摩根律的多元形式，证明可以找到最外层的运算然后归纳下去。
范式：极小项和极大项，主范式，填满变项的简便方法（记得看作业题）。
文字：\(P\) 或 \(\lnot P\)。
合取式：一些文字的合取。
析取范式：形如 \(A_1\lor A_2\lor \cdots\lor A_n\) 的的公式，其中 \(A_i\) 为合取式。
求范式的方法：
- 把蕴含和双条件联结词消去。
- 用摩根律和双重否定律，把否定往里面弄。
- 重复使用分配律。
范式可以用来判断重言式或矛盾式。如果合取范式中每一个析取式都有互补对，那么一定为重言式。如果析取范式中每一个合取式都有互补对，那么一定为矛盾式。
极小项：\(Q_1\land Q_2\land \cdots\land Q_n\)，其中 \(Q_i\) 为 \(P_i\) 或 \(\lnot P_i\)，则为极小项。用二进制来表示极小项。当 \(n=2\) 的时候，\(\lnot P_1\land \lnot P_2\) 对应 \(00\)，\(P_1\land P_2\) 对应 \(11\)，故 \(m_{0}=\lnot P_1\land \lnot P_2\)，\(m_3=P_1\land P_2\)。
极小项的性质：
- 每个极小项只在一个解释下为真。
- 极小项两两不等值。
主析取范式：仅由极小项组成的析取式。
极大项和主合取范式：类似定义。
根据真值表来写主析取范式和主合取范式，例如
| \(P\) | \(Q\) | \(A(P,Q)\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(1\) |
| \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) |
考虑 \(A(P,Q)\) 为真的，为第 \(0\) 行和第 \(3\) 行（0-index），则主析取范式为：\((\lnot P\land \lnot Q)\lor(P\land Q)=m_0\lor m_3=\lor_{0,3}\)。
主合取范式复杂一点，从 \(A(P,Q)\) 为 \(0\) 的行入手，要描述“不能在某几行满足 \(P=x,Q=y\) 才能为真的信息”应该写成 \(\lnot (\lnot P\land Q)\land \lnot (P\land \lnot Q)\)。所以主合取范式为 \((P\lor \lnot Q)\land (\lnot P\lor Q)=M_2\land M_1=\land_{1,2}\)。
所以真值表和极大项 / 极小项的对应关系实际上是
| \(P\) | \(Q\) | 极小项 | 极大项 |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(m_0\) | \(M_3\) |
| \(0\) | \(1\) | \(m_1\) | \(M_2\) |
| \(1\) | \(0\) | \(m_2\) | \(M_1\) |
| \(1\) | \(1\) | \(m_3\) | \(M_0\) |
根据上面的描述，我们有如下性质
- \(\lnot \lor_S=\lor_{-S}\)，其中 \(-S\) 为余集。
- \(\lor_S=\land_{r({-S})}\)，其中 \(r(S)\) 为 \(\{x\mid (2^n-1)-x\in S\}\)。
快速写主析取范式：
例 \((\lnot P\land \lnot Q)\lor R=m_{00x}\lor m_{yz1}=\lor_{0,1,3,5,7}\)。
主合取范式是一样的 \((\lnot P\lor \lnot Q)\land R=M_{00x}\land M_{yz1}=\land_{0,1,3,5,7}\)。
（注：这里似乎有不同定义，我问豆包它的定义和我不一样……）
推理演算
基本推理公式
- \(P\land Q\Rightarrow P\)。
- \(P\Rightarrow P\lor Q\)。
- \(P\land (P\to Q)\Rightarrow Q\)（分离规则）
- \((P\to Q)\land (Q\to R)\Rightarrow P\to R\)（三段论）
推理规则
- 前提引入规则（写作前提引入）。
- 代入规则。
- 置换规则（写作 (x) 置换）。
- 分离规则（写作 (x)(y) 分离）。
- 条件证明规则（写作 附加前提引入+条件证明规则（写在最后））。
归结法
- 证明 \(A\to B\) 是重言式，转化为证明 \(A\land \lnot B\) 是矛盾式。
- 把 \(A\land \lnot B\) 化为合取范式并建立子句集。
- 把 \(P\lor A\) 和 \(\lnot P\lor B\) 的子句归结为 \(A\lor B\)（\(A,B\) 均为公式）（理论依据为三段论 \((\lnot A\to P)\land (P\to B)\Rightarrow \lnot A\to B=A\lor B\)）
- 直到归结出矛盾式 \(\square\)。
注：已经归结的公式不要删去。
归结法并不总是有效，举例：证明 \(P\lor Q\Rightarrow P\)。
公理化
罗素公理体系
四条公理
- \(\vdash ((P\lor P)\to P)\)（等幂律）
- \(\vdash P\to (P\lor Q)\)（基本推理公式）
- \(\vdash (P\lor Q)\to (Q\lor P)\)（交换律）
- \(\vdash (Q\to R)\to ((P\lor Q)\to (P\lor R))\)（？）
让罗素公理更像人话：
- 罗素公理展现了蕴含之间的推导，所以将公式转成蕴含会好推一点。
- 罗素公理要双向推导，可以尝试构造一些中间项搭桥。
- 2,4 都是用来引入公式的，2 是引入单个公式，4 是同时引入两个公式。
- 要记住一些基本定理，比如 \(P\to P\) 和 \(P\to \lnot \lnot P\)。
- 可以用罗素搭一个三段论出来。
基本定理的证明
定理 1：证明 \(\vdash P\to P\)。
(1) \(\vdash P\to (P\lor Q)\)——公理 2
(2) \(\vdash P\to (P\lor P)\)——(1) 代入 \(\frac{Q}{P}\)
(3) \(\vdash(P\lor P)\to P\)——公理 1
(4) \(\vdash (Q\to R)\to ((P\lor Q)\to (P\lor R))\)——公理 4
(5) \(\vdash ((P\lor P)\to P)\to ((P\to (P\lor P))\to (P\to P)\)——(4) 代入……
(6) \(\vdash (P\to (P\lor P)\to (P\to P))\)——(3)(5) 分离
(7) \(\vdash P\to P\)——(2)(6) 分离
思路简述：一个显然的思路是用 \(P\lor P\) 搭桥然后三段论证明，但是我们手里并没有三段论！所以要用公理四造一个新的蕴含出来。
定理 2：证明 \(P\to \lnot \lnot P\)。
相当于证明 \(\lnot P\lor \lnot \lnot P\)，代入规则一下就行。
小练习：证明假言异位。
王浩算法
不考，懒得看了
谓词逻辑
定义
\(P(x)\)，\(P(x)\) 谓词，里面的是个体词，\(x\) 为个体变项，\(\text{yllcm}\) 是个体常项。
合式公式：不允许量词作用于命题变项和谓词变项，仅允许作用于个体变项。
有几条规则
- 如果 \(A,B\) 是合式公式，而无变元 \(x\) 在 \(A\) 中自由在 \(B\) 中约束，那么 \(A\land B\) 是合式公式（\((\forall x)F(x)\land G(x)\) 不是合式公式）
- 如果 \(A\) 是合式公式，且 \(x\) 在 \(A\) 中是自由的，那么 \((\forall x)A\) 是合式公式（\((\forall x)((\exists x)P(x))\) 不是合式公式）
自然语言形式化
所有有理数都是实数 \((\forall x)(P(x)\to Q(x))\)。
存在有理数是实数 \((\exists x)(P(x)\land Q(x))\)。
注意“恰有一个”类似的表述。
基本等值式
太简单了。
范式和 Skolem 标准型
前束范式：把所有量词都挪到前面。
Skolem 标准型：例子 \((\exists x)(\forall y)(\forall z)(\exists u)(\forall v)(\exists w)P(x,y,z,u,v,w)\) 的 Skolem 标准型 \((\forall y)(\forall z)(\forall v)P(a,y,z,f(y,z),v,g(y,z,v))\)，Skolem 标准型在不可满足的意义下和原式子是一致的。
注：为什么是函数？因为对于不同 \(y,z\)，\(u\) 是可变的。Skolem 标准型给它随便指派一个 \(u\)。如果原式子不可满足，那么随便指派一个 \(u\) 也不可满足。
基本推理公式 / 推理规则：UI，UG，EI，EG（Universe,Existence,Instance,Generalize）
推理公式
- \((\forall x)P(x)\lor (\forall x)Q(x)\Rightarrow (\forall x)(P(x)\lor Q(x))\)
- \((\exists x)(P(x)\land Q(x))\Rightarrow (\exists x)P(x)\land (\exists x)Q(x)\)。
- \((\exists x)(\forall y)P(x,y)\Rightarrow (\forall y)(\exists x)P(x,y)\)（万人迷）
推理规则：UI（全称量词举例），UG（全称量词引入），EI（存在量词举例），EG（存在量词引入）
归结法
用 \(A\Rightarrow B\) 等价于 \(A\land \lnot B\) 为矛盾式，先化成 Skolem 标准型（在不可满足意义下与原式等价），再建立子句集。后面过程和上面基本相同，不同的是 \(P(x)\lor Q(x)\) 和 \(\lnot P(a)\lor R(y)\) 归结得到 \(Q(a)\lor R(y)\)。
集合
基本集合
\(0\in \mathbb{N}\)
集合的运算与证明
\(A=B\) 等价于 \(A\) 与 \(B\) 互为子集。\(A\subset B\)，\(A\) 是 \(B\) 的真子集。
空集 \(\varnothing=\{x\mid x\neq x\}\)，\(E=\{x\mid x=x\}\)。（证明空集唯一？外延公理）
对称差 \(A\oplus B=(A-B)\cup (B-A)\)。
有序对 \(\langle x,y\rangle=\{\{x\},\{x,y\}\}\)。
优先级：一元集合运算>二元集合运算>集合关系>逻辑运算。
集合运算性质：和逻辑运算一样，注意摩根律 \(A-(B\cup C)=(A-B)\cap(A-C)\)。
幂集合：\(x\in P(A)\Leftrightarrow x\subseteq A\)，\(\varnothing\in P(A)\)，\(A\in P(A)\)。
- 有趣的定理：\(P(A)\in P(B)\Rightarrow A\in B\)（证明：\(A\in P(A)\subseteq B\)）
- \(x,y\in A,\langle x,y\rangle\in P(P(A))\)，感觉意义不明。
传递集合：集合 \(A\) 任意元素的元素都是 \(A\) 的元素（\((\forall x)(\forall y)((x\in y\land y\in A)\to (x\in A)\)）
- 性质 1：\(x\in A\Rightarrow x\subseteq A\)。
- 性质 2：\(A\) 是传递集合等价于 \(A\subseteq P(A)\)。
- 性质 3：\(A\) 是传递集合等价于 \(P(A)\) 是传递集合。
广义交和广义并
- \(\bigcap(A\cup B)=(\bigcap A)\cap(\bigcap B)\)，\(\bigcup(A\cup B)=(\bigcup A)\cup(\bigcup B)\)。
- \(\bigcup P(A)=A\)。
- 传递集合的广义交和广义并都是传递集合，且广义交为 \(\varnothing\)；传递集合组成的集合的广义交和广义并都是传递集合。
集合的基数
容斥原理，这个不会建议重学三年 OI。
集合论公理系统
ZFC 10 条公理，背不下来。
构造自然数集合（无穷公理）
意思是 \(0\) 存在且对任意自然数存在它的后继（\(y^+=y\cup\{y\}\)）
关系
基本概念
恒等关系 \(I_A=\{\langle x,x\rangle\mid x\in A\}\)。
全域关系 \(E_A=\{\langle x,y\rangle\mid x,y\in A\}\)。
\(R\) 的域 \(\text{fld}(R)=\text{ran}(R)\cup\text{dom}(R)\)，\(\text{fld}(R)=\bigcup\bigcup R\)（和上面幂集性质相对应）。
关系矩阵，关系图，关系的逆，关系的复合，关系的限制 \(R\uparrow A\)（限制定义域），关系的象 \(R[A]\)。
关系的性质
自反（reflexive）（反自反），对称（symmetric）（反对称），传递（transitive）
关系的闭包
\(r(R)\) 自反闭包，\(s(R)\) 对称闭包，\(t(R)\) 传递闭包。
若 \(R\) 是传递的，则 \(s(R)\) 不一定是传递的。例子：\(R=\{\langle 1,2\rangle\}\)。
特殊的关系：
等价关系和划分：自反、对称、传递。
等价类：\([x]_R\) 表示 \(x\) 的等价类。
商集：不相交的等价类为元素的集合，记作 \(A/R\)。
划分：不交且覆盖。商集是划分，记作 \(\pi_R\)，表示 \(R\) 诱导的划分。记 \(R_\pi\) 表示由划分 \(\pi\) 诱导的等价关系。划分和等价关系一一对应。
相容关系：自反、对称。无向图。
最大相容类：记作 \(C_R\)，为所有最大团。\(C_R\) 构成覆盖。
覆盖：记作 \(\Omega\)，不要求不交。覆盖和相容关系不是一一对应，相容关系可以诱导覆盖。
偏序关系和拟序关系：可理解为 \(\leq\) 和 \(<\)。偏序反对称，自反，传递。拟序反自反。\(A\) 上的偏序关系 \(R\) 一起称为偏序集 \(\langle A,R\rangle\)。
哈斯图：大的摆上面，保留 \(\langle x,y\rangle\) 使得 \(x\leq y\) 且不存在 \(z\) 使得 \(x\leq z\land z\leq y\) 的。哈斯图保留的边记作盖住关系 \(\text{cov}A\)。
子集的最小元和极小元：最小元 \(u\) 要求集合内所有元素与 \(u\) 都可比且大于等于 \(u\)，极小元不要求。极小元的逻辑表示：\(x\in B\land ((y\in B\land y\leq x)\to x=y)\)。
上界和上确界：存在元素 \(u\) 使得 \(u\) 与集合 \(B\) 所有元素都可比且 \(u\) 大于等于它们，那么 \(u\) 是上界。上界集合的最小值为上确界，上确界不一定存在。
全序关系：任意元素都可比。
链与反链：\(A\) 的子集 \(B\)，使得 \(B\) 在关系 \(R\) 上所有元素都可比 / 不可比。
良序关系：任何非空子集都有最小元。良序关系比全序关系强。
函数
选择公理：对于任意关系 \(R\)，存在函数 \(f\subseteq R\) 使得 \(\text{dom}(f)=\text{dom}(R)\)。
泛函：值域为函数。
函数的相容性：\(f\) 和 \(g\) 相容当且仅当在它们相交的定义域上相同（定义域分别为 \(C,D\)，\(f\uparrow(C\cap D)=g\uparrow(C\cap D)\)。
函数与关系的相容：\(R\) 是 \(A\) 上的等价关系，\(f:A\to A\)，如果 \(\langle x,y\rangle\in R\to \langle f(x), f(y)\rangle\in R\)。
模糊集合
集合的特征函数：\(\chi_A:E\to \{0,1\}\)，\(\chi_A(a)\) 表示 \(a\) 是否属于集合。
模糊集合的隶属函数：\(\mu_A:E\to [0,1]\)，表示元素属于集合的程度。
集合基数
无限基数的性质：\(k\leq l\) 的时候，\(k+l=k\cdot l=l=\max(k,l)\)。
习题
- 对有限集合 \(A,B\)，\(|A|=m\)，\(|B|=n\)。则存在从 \(A\) 到 \(B\) 的满射函数当且仅当 \(m\geq n>0\lor m=n=0\)。
- 形式化答题格式
- 用归结法证明 \((\forall x)(P(x)\to Q(x))\land (\forall x)(Q(x)\to R(x))\Rightarrow (\forall x)(P(x)\to R(x))\)。
前提等价于子句 \(\lnot P(x)\lor Q(x)\)，\(\lnot Q(x)\lor R(x)\)，结论为 \((\exists x)(P(x)\land \lnot R(x))\)，得到子句 \(P(a)\) 和 \(\lnot R(a)\)。对这个做归结即可。
总结：碰到合取拆成两个子句，碰到析取合成一个子句，碰到存在量词消去存在量词。
- 证明 \(\{f\mid f:\mathbb{R}\to (0,1)\}\approx\{g\mid g:\mathbb{R}\to \{0,1\}\}\)。
\(\aleph_1^{\aleph_1}\) 和 \(2^{\aleph_1}\) 比大小问题。有 \(\aleph_1^{\aleph_1}=2^{\aleph_0\times \aleph_1}=2^{\aleph_1}\)。
- 用推理规则证明。前提：\(Q\to \lnot R,(P\lor R)\to Q\)，结论 \(((P\to Q)\to (P\lor R))\to P\)。
附加前提引入之后，已知 \((P\lor R)\to Q\) 可以推 \(P\to Q\)，可以分离出 \(P\lor R\)，可以分离出 \(Q\)，可以分离出 \(\lnot R\)，可以分离出 \(P\)。
总之捣鼓三段论其实没什么用，最好用分离规则。
- 罗素三段论
前提：\(A\to B,B\to C\) 证明 \(A\to C\)。
\(\vdash (B\to C)\to ((A\to B)\to (A\to C)))\)。
- 罗素重言蕴含置换
前提 \(A\lor B\)，\(B\to C\) 证明 \(A\lor C\)。
证明 \((B\to C)\to ((A\lor B)\to (A\lor C))\)。
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