2023.1.3 营业日志

CF1500D Tiles for Bathroom

Description

给定一个 \(n\times n\) 的正方形，对于所有正整数 \(k\leq n\)，求出有多少个 \(k\times k\) 的正方形颜色数不超过 \(q\)。\(q\leq 10\)。

Solution

好久之前做的题了，感觉忘了，来补个档。

考虑枚举右下角，只要求出 \(f_{i,j}\) 表示 \((i,j)\) 为右下角的正方形边长最多是多少，就可以求出原问题。

考虑二分，每次考虑以 \((i,j)\) 为右下角，边长为 \(k\) 的正方形有几种颜色。直接数不是很好做，可以考虑格子 \((x,y)\) 对 \((i,j)\) 的贡献。有贡献的条件是 \(\max(|i-x|,|j-y|)\leq k\)，换句话说，两格子之间的切比雪夫距离不超过 \(k\)。问题转化为与 \((i,j)\) 切比雪夫距离不超过 \(k\) 的颜色有多少个。由于颜色数比较小，所以可以考虑存储与 \((i,j)\) 切比雪夫距离最近的 \(q\) 种颜色。

此问题上切比雪夫距离没有优势，考虑转成曼哈顿距离处理，相当于将坐标系旋转了 \(45\) 度。所以现在只需要求出左上和右上的曼哈顿距离最近的的 \(q\) 种颜色即可，可以利用 \((i-1,j-1)\) 和 \((i-1,j+1)\) 两个格子递推归并得到。

启示：切比雪夫距离转曼哈顿距离，相当于一种正方形数点的方式吧。这题也为二维数颜色问题拓宽了一个思路，存储“最近”的几种颜色，虽然使用的场景比较有限。

P5311 [Ynoi2011] 成都七中

Description

给定一棵 \(n\) 个点的树，\(m\) 次询问如果只保留 \([l,r]\) 内的边，那么 \(x\) 所在的联通块的颜色数有多少。

Analysis

暴力就是每次大力求出保留的点然后求颜色数量，复杂度 \(\mathcal{O}(n^2)\)。

考虑 \(l=1\) 的情况。那么可以使用扫描线，每次加入一个点并维护联通块颜色数，这个可以用线段树合并。

考虑加上下界怎么做，假设我们加入 \([1,r]\) 的点，那么 \(x\) 和 \(y\) 可达的条件就是它们之间的路径编号最小值不小于 \(l\)，想到 kruskal 重构树，如果能够每次动态维护每个联通块的 kruskal 重构树，那么问题就转化为了区间数颜色问题。但是观察 kruskal 重构树的形态变化，并没有找到什么很好的性质，也没有什么类似 \(\mathcal{O}(\min(x,y))\) 合并的方法。

此时发现我并不会做颜色互不相同的情况，但是联通块的一个性质是，只要随便找到 \(x\) 联通块内的一个点，那么询问是等价的。考虑点分治，对于一组询问，如果当前分治中心在它的联通块内，那么询问挂在分治中心上也是可以的。所以考虑查询分治中心点数怎么做。发现如果求出一个点 \(x\) 到根的路径上的最小值和最大值 \(L_x,R_x\)，那么合法的条件就是 \(L_x,R_x\in[l,r]\)，典型的二维数点，扫描线就好了。

换到数颜色，二维数颜色看起来不是很友好的样子，但是仔细分析一下问题的结构，发现二维数颜色只是从矩形加变成了某种颜色矩形覆盖而已。于是扫描线一下，然后求出某种颜色当前的 \(L_x\) 最大值，每次更新的时候保证贡献不相交就好了。复杂度 \(\mathcal{O}(n\log^2 n)\)。

Solution

怎么大家都写点分树。

启示：数颜色问题可以看作是矩形覆盖。另外树上联通块问题可以考虑点分治，每次求出跨过分治中心的联通块答案，这和求路径答案的思想也是类似的。

CF1774F2 Magician and Pigs (Hard Version)

Description

维护多重集 \(S\)，支持下面三种操作：

• 往 \(S\) 中加入一个数 \(x\)。
• 将 \(S\) 中所有的数都减去 \(x\)。
• 将之前已经进行过的操作重复一遍。

求最后 \(S\) 中非负数的个数。

Analysis

一个月前我 vp 的时候还不会这题来着。

先转化一下。假设 \(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 次操作 \(j\) 的个数，\(g_i\) 表示前 \(i\) 次操作减法总和，那么将三种操作写成有关 \(f\) 的转移：

• 操作 \(1\)：\(f_{i-1,x}+1\to f_{i,x}\)。
• 操作 \(2\)：\(f_{i-1,j}\to f_{i,j-x},g_i=g_{i-1}+x\)。
• 操作 \(3\)：\(f_{i-1,j}\to f_{i,j},f_{i-1,j}\to f_{i,j-g_{i-1}},g_i=2g_{i-1}\)。

观察可以发现有意义的操作 \(3\) 其实只有 \(\mathcal{O}(\log V)\) 次，每次暴力重构数组可以通过 F1。

F2 需要进一步的观察，根据转移抽象原问题：对于一个数，它在操作 \(2\) 固定会被减去一个数，操作三可以选择是否减，问最后大于 \(0\) 的方案数。发现操作三有 \(g_x\geq 2g_y\)，容易联想到从高位往低位贪心的想法，进一步想到，如果一个较大的 \(g_x\) 可以减但是没有减，后面就可以随便选，方案数加上 \(2^{c}\)。发现这个性质就随便做了。

P3526 [POI2011]OKR-Periodicity

Description

构造长度为 \(n\) 的 \(01\) 串 \(s\)，使得 \(\text{per}(s)=T\)，其中 \(T\) 为给定集合，\(\text{per}(s)\) 表示 \(s\) 的所有周期。

Analysis

震惊，全谷最菜黑题竟是它，通过率秒杀红题？？？

破防了，根本不会。

发现周期集合恰好是 \(T\) 这个条件非常烦人，直接构造的话比较困难，考虑归纳构造。假设 \(s\) 存在不超过 \(n/2\) 的周期（以下简称短周期），那么剩下的大部分周期都是最短周期的倍数，如果它的所有倍数恰等于原集合，那么可以构造一个只有末尾是 \(1\) 的串，然后就做完了。比较麻烦的点在于，如果存在不为它倍数的长周期，那么问题有点大。长周期对应了短 border，如果短 border 长度不超过短周期长度，那么可以直接构造短周期，限制为短周期也有相应的 border。然后我们成功将问题规约到了更小的规模。

看起来形式一片大好，但是发现有些串可能根本没有短 border。如果全都是长 border 怎么做呢。转化方法比较少，考虑观察一些性质。但是发现根本观察不出来性质。

沿用原来的归纳已经不可行，考虑一些新的归纳。但是发现根本没有什么可行的归纳，我尝试的归纳要么限制过于复杂要么干脆就是错的。

Solution

https://www.cnblogs.com/yllcm/p/17024329.html

有序的分类讨论和我的无序的性质寻找形成鲜明对比。