Codeforces 记录

CF506E Mr. Kitayuta's Gift

关注字符串的匹配点可以把问题转化成这样的形式：求 \(|s|\) 次下列问题的答案，有 \(n\) 个无标号球和 \(m_1\) 个 A 盒子，\(m_2\) 个 B 盒子，求放在 \(m_1\) 中有 \(a\) 的权值，\(m_2\) 中有 \(b\) 的权值，求把球放在盒子里的权值和。

根据原题的组合意义容易得到一个 \(\mathcal{O}(|s|^3\log n)\) 的做法，无法通过。反复思考也可以发现求单组是难以突破三次方的限制的。不过由于要求多组，我们考虑把多组合在一起做。可以构建如下自动机：\(|s|\) 个一类点，连权值为 \(a\) 的自环，\(|s|/2\) 的二类点，连权值为 \(b\) 的自环，然后求 \(A^n\)，通过两点之间的路径权值和容易得到权值和。综上，总复杂度为 \(\mathcal{O}(|s|^3\log n)\)，由于矩阵是上三角的所以可以卡 \(6\) 倍常数。

求多组尝试把多组放在一起求是常见的思路，本题将 DP 过程抽象成图上的多源多汇的游走的思想也很新颖。

CF1761F1 Anti-median (Easy Version)

Solution

题目的限制比较复杂，考虑从比较简单的限制入手：

• \(len=3\)，可以发现排列呈现波浪形。
• \(len=5\)，不妨设 \(p_i>\max(p_{i-1},p_{i+1})\)，那么容易发现 \(p_i>\min(p_{i-2},p_{i+2})\)。稍微画一下可以发现峰的大小是单峰的，谷的大小是单谷的。

手玩可以发现这是一个充要条件。

如果全是问号的话，枚举 \(1,n\) 的位置可以得到一个组合做法，但是它并不适应有确定位置的情况。考虑据此设计一个 DP。但是 DP 的阶段不是很明显，考虑观察这个序列。从 \(1\) 开始考虑，发现 \(2\) 的位置只有可能是 \(p_{i-2}\) 和 \(p_{i+2}\)，这表明如果从值域开始考虑的话，排列的构造是存在明显阶段的。具体地，如果将奇数位置从左到右排列，偶数位置从右到左排列在后面构成环，那么 \([1,k]\) 必然构成一个连续区间。所以可以设 \(f_{l,r}\) 表示区间 \([l,r]\) 填完了的方案数，发现长度为 \(5\) 的条件已经解决，考虑长度为 \(3\) 的限制即可。时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^2)\)。

Conclusion

推结论的过程花费了我太多时间，原因是我单纯依靠手玩合法序列和不合法序列，没有思考顺序，直到发现不存在长度为 \(7\) 的最小不合法序列，尝试证明的时候才发现的充要条件。

后面的 DP 非常巧妙，和 NOIP2021 方差有相似之处却更为复杂，主要依赖于对排列性质的进一步观察。

CF1750G Dopping

Solution

先考虑如果没有字典序的操作怎么做，存在一个 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的 DP 做法：每次插入一个数，并记录 \([a_{i+1}\neq a_i+1]\) 的数对个数，每次记录数对个数的变化量。如果枚举 LCP，可以得到一个 \(\mathcal{O}(n^3)\) 的做法。

基于 DP 的思路已经没有优化空间，重新考虑没有字典序的操作的做法。考虑容斥，钦定值域上 \(k\) 个数对相邻，那么方案数为 \((n-k)!\dbinom{n-1}{k}\)，套用二项式反演可以得到答案。

考虑扩展到原问题，仍然枚举 LCP，考虑 LCP 之后的部分，如果钦定 \(k\) 个位置的方案数。注意到一个问题是：值域并不是连续的，并且还要考虑第一个数和 \(p_i\) 的大小关系。考虑 \(<p_i\) 的部分相邻数对数量为 \(a_0\)，连续段数量为 \(b_0\)，\(\geq p_i\) 部分相邻数对数量为 \(a_1\)，连续段数量为 \(b_1\)。可以得到式子：

\[\sum_{j=0}^k\dfrac{b_0+j}{k}k!\binom{a_0}{j}\binom{a_1}{k-j-b_0-b_1} \]

推一下式子就可以了，如果直接反演的话复杂度是三方的，所以考虑放到最后一起反演。可以利用一个 DP 解决前缀的钦定问题，复杂度 \(\mathcal{O}(n^2)\)。

Conclusion

不错的组合题，优化的关键在于利用组合推导替换 DP 过程。

CF1764F Kazaee

Analysis

有一个根号做法。考虑询问分块解决带修问题，根号分治解决出现次数问题。那么对于询问分块涉及到的特殊点专门求出现次数，对于其它点维护出出现次数，而出现次数可以通过分为大块和小块做到根号处理。

Solution

维护比较困难，考虑哈希。一个想法是把所有元素赋随机值然后求和，维护这个哈希值。随机 \(40\) 次就足够了。

Conclusion

这种难以维护的信息考虑哈希。

CF1746E2 Joking (Hard Version)

Solution

先观察交互库给出的信息。考察相邻两次操作，假设全集为 \(U\)，两次询问分别为 \(S,T\)，补集分别为 \(C_S,C_T\)。假设两次的回答分别指向集合 \(A,B\)，则元素的可能范围缩小为 \(A\cup B\)。

考虑构造 \(S,T\) 使得对于 \(U\)，删除的元素尽可能多，可以想到将 \(U\) 分为 \(U_1,U_2,U_3,U_4\)，然后令 \(S=U_1\cup U_2,T=U_1\cup U_3\)，可以得到一个 \(2\log_{\frac{4}{3}}n\) 的做法，可以通过 E1。

注意到我们实际上忽略了一部分相邻操作的信息，考虑扩展上述做法：设上一次询问指向集合为 \(S\)，全集为 \(U\)，那么可以把 \(S\) 和 \(C_S\) 分别平分然后询问。不过平分并不一定是最优决策，我们 DP 出最优决策点即可。

Conclusion

这题交互库给出信息的方法比较新颖，但是可以通过严谨的描述转化成我们熟悉的形式。交互题的核心是充分利用信息，后面通过 DP 求出最优划分点是交互题的常见优化方法。