学习笔记——割点与桥

一、割点、桥基本概念

给定无向图 \(G=(V,E)\)。

对于一个点 \(u \in G\) ，删除一个节点 \(u\)与该节点所有相连的边后，该图不连通，则称点 \(u\) 为割点。

对于一条边\(\{U,W\} \in G\)，删除一条边 \(\{U,W\}\) 后，该图不连通，则称边 \(\{U,W\}\) 为桥。

二、暴力算法

对于割点，枚举每个点，看删去这个点后整个图是否连通，若不连通则此点为割点。

对于桥，枚举每条边，看删去这条边后整个图是否连通，若不连通则此边为桥。

朴素做法时间复杂度： \(O(n(n+m))\)，复杂度极高。

三、Tarjan 算法

定义 \(dfn[i]\) 表示节点 \(i\) 的 dfs 序。如图：

定义 \(low[i]\) 表示节点 \(i\) 通过返祖边和绕路，能到达的节点里最小的 dfn 值。如图：

（蓝框数字表示 \(low\)，红框数字表示 \(dfn\)）

那么问题转化为 \(low\) 的求法。

dfs 过程中，正在节点 \(u\)，有边 \((u,v)\)，有两种情况：

• \(vis[v]=0\)，代表 \(v\) 未被遍历过，则 \(v\) 为 \(u\) 的子节点。则 \(v\) 作为 \(u\) 的子节点，一定会对 \(u\) 做出贡献：

\[low[u]=\min(low[u],low[v]) \]

（即如果子节点能到达更小 \(dfn\) 的点，点 \(u\) 也一定能沿着子节点到达）

• \(vis[v]=1\)，代表 \(v\) 已经被遍历过，则 按照 dfs 的规律，\(dfn[v]<dfn[u]\)，则边 \((u, v)\) 为一条从 \(u\) 到 \(v\) 的返祖边。此时,

\[low[u]=\min(low[u], dfn[v]) \]

(即用 \(u\) 已经搜索到的最小 \(dfn\) 的节点与 \(v\) 节点进行比较）

四、割点的判定

• 对于根节点，若有两棵及以上的子树，则根节点为割点。

• 对于非根节点 \(u\)，若其子树中任意一个节点 \(v\) ，均满足

\[dfn[u] \le low[v] \]

则说明该节点为割点。因为一旦去除 \(u\)，则 \(u\) 的子树与其他节点并不连通。

五、桥的判定

• 对于边 \(\{U,W\}\)，若 \(w\) 的子树中任意一个节点 \(v\) ，均满足

\[dfn[w] < low[v] \]

则说明该边为割边。因为一旦去边 \(\{U,W\}\)，则 \(w\) 的子树与其他节点并不连通。

参考核心代码：

void tarjan(int x){
	dfn[x]=low[x]=++num;
	int f=0;
	for (int i=head[x]; i; i=nxt[i]){
		int y=ver[i];
		if(!dfn[y]){
			tarjan(y);
			low[x]=min(low[x], low[y]); 
			if(low[y]>=dfn[x]){ //求割点，如果是割边换成low[y]>dfn[x]
				f++;
				if(x!=root||f>1) cut[x]=1;
			}
		}
		else low[x]=min(low[x], dfn[y]);
	}
}