等式的根-XJOIp1241

题目描述：有这样一个式子    x2+S(x)∗x−n=0       x,n都是正整数, S(x)为x所有十进制数位的和  ，现在给你一个n，你需要找到最小的x使得等式成立。

输入格式：输入一个整数          　　输出格式：输出一个整数  ，如果不存在一个整数使得等式成立，输出-1

样例输入1：110   样例输出1：10

样例输入2：4      样例输出2：-1

 约定：1<=n<=10^18

 思路：

题目的意思是找到满足等式的最小值，找不到就返回-1。 看起来不难理解， 但是数据范围却是达到了10^18，用暴力必然TLE。

那么重点就是考虑怎么缩小搜索的范围。

首先我们看到 S(x) 代表x在十进制内各位数字之和，那么事实上 S(x) 的范围是确定的，其上界为所有位数均为9时，即S(x)≤18*9

其次，我们把等式进行转换，x+S(x)=n/x 这个整数方程似乎表明x是n的一个约数，但是求约数也是十分繁琐的过程。

这时我们注意到：n既然可以拆分为 x*(x+S(x)) ，那么x和x+S(x)分别在sqrt(n)的两侧。这是一个很简单的证明，这里也不提。

这个发现对于解决本题的大数据有很大的关键，因为S(x)必然大于0，则x必然小于x+S(x)，也就是说x<sqrt(n) 和 x+S(x)>sqrt(n) 恒成立。

所以x的范围其实被压缩到了18*9以内。现在只要进行枚举就能很快的解出此题了。

事实上，我们还可以进一步压缩x的范围，x不会大于sqrt(n)，所以不会超过10^9，S(x)的范围也被压缩到了9*9以内。

本题另一个难点就在于和long long有关的判断，int型不能直接和long long型进行比较。所以第一次提交只有28分，这是通过WA才得到的教训，切记，切记。

——————————————————————————————————————————————————————————————

AC的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,x;
long long ans;
long long s,f;
int main(){
　　cin>>n;
　　for(long long i=max((long long)1,(long long)sqrt(n)-81);i<=sqrt(n);i++ ){     //int不能和long long比较，也得转换成long long。
　　　　x=i;
　　　　s=0;
　　　　while(x!=0){
　　　　　　s=s+x%10;
　　　　　　x/=10;
　　　　}
　　　　ans=i*i+s*i-n;
　　　　if(ans==0){
　　　　　　f=1;
　　　　　　cout<<i;
　　　　　　break;
　　　　}
　　}
　　if(f==0){
　　　　cout<<"-1";
　　}
}

————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「birdstorm」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/birdstorm_s/article/details/20386413