【CSP-J2019 江西】非回文串 - 实践

【CSP-J2019 江西】非回文串

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NOIP 专栏：CSP-J 2019 江西
算法竞赛：数学，组合数学，组合计数，排列组合，全排列，不可重复的排列，字符串，传统题（标准 OI）
题目链接：洛谷 P5684【CSP-J2019 江西】非回文串

题目描述：
Alice 有$n$个字符，它们都是英文小写字母，从$1\sim n$编号，分别为$c_1,c_2,\dots ,c_n$。
Bob 准备将这些字符重新排列，组成一个字符串$S$。Bob 知道 Alice 有强迫症，因此他打算将$S$组成一个非回文串来折磨 Alice。
现在 Bob 想知道他共有多少种不同的排列字符的方案，能使得$S$一个就是是个非回文串。一种排列字符的方案指的$1\sim n$ 的排列 $p_i$，它所组成的$S=c_{p_1}{c}_{p_2}\dots c_{p_n}$。
一个字符串是非回文串，当且仅当它的逆序串与原串不同。例如 abcda 的逆序串为 adcba，与原串不同，故 abcda 是非回文串。而 abcba 的逆序串与原串相同，是回文串。
由于最后的结果可能很大，你只需告诉 Bob 总方案数对$10^9+7$取模后的值。

输入格式：
第一行一个正整数$n$表示字符个数。
第二行 $n$个英文小写字母$c_i$。
输出格式：
仅一行一个整数表示答案。答案对$10^9+7$ 取模。

数据范围：
对于 $20\%$ 的数据，$n\le 8$；
对于 $50\%$ 的数据，$n\le 20$；
另有 $30\%$ 的数据，字符只包含 a 和 b；
对于 $100\%$ 的数据，$3\le n\le 2000$。

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题目分析

给定一个长度为$n$的仅由小写字母构成的字符串$S[1\sim n]$，求出字符串$S[1\sim n]$的排列中不为回文串的数量。

回文串即左右字符成轴对称的字符串，如 abbccbba,acbca 为回文串，aabbcc,abcabc 不是回文串。

注意：不同位置的相同字母的编号不同，如 aba 的回文串有两个，即 $a_{1}b{a}_2,a_{2}b{a}_1$。

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算法知识

1. 全排列，无重复排列
2. 快速幂
3. 费马小定理（逆元）
4. 模运算

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排列组合

（1）排列概念

这里用到组合数学中的排列（全排列，无重复排列）。

排列（permutation），即从 $n$个不同的元素中，任取$m,(m\le n)$个元素，按照一定的顺序排成一列，这就叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个排列。特别地，当$m=n$时，这个排列被称作全排列（all permutation）。

通过排列根据元素的重复性要求能够分为两种，重复排列（permutation with repetition） 和 无重复排列（permutations without repeatable），通常来说，无重复排列使用频率较高，排列也常指无重复排列，在本文中，排列的讨论范围即无重复排列。

无重复排列（permutations without repeatable），即从 $n$个不同的元素中，任取$m,(m\le n)$ 个不同的元素元素（即 $n$个元素中的每一个元素至多被选一次），按照一定的顺序排成一列，这就叫做从$n$个不同元素中取出$m$个不同元素的一个排列。

从 $n$个不同元素中取出$m$个不同元素的所有不同排列（无重复排列）的个数称为排列种数或称排列数，记为 $P_n^m$ 或 $A_n^m$ 或 ${}_n{P}_m$。特殊的，全排列的个数记为$P_n^n$ 或 $A_n^n$ 或 $P_n$。

（2）排列数公式

选排列：

$$P_n^m=A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$$

全排列：

$$P_n^n=P_n=n(n-1)(n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 3\times 2\times 1=n!$$

证明也比较简单，组合与排列的基础就是乘法原理和加法原理，公式也就是根据定义得出的，将公式对应于定义（从集合中选数）不难理解。

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算法思路

回文串的排列数量不好求，可以间接地求，先求出全部排列的数量，再求出回文串的数量香煎即可，回文串的数量比较好求。就是直接求不

全部排列的数量不难得出即为$P_n=n!$，而回文串的排列数量分为以下几个步骤来求。

先统计一下每个字母出现的个数，假如出现奇数个的字母超过$1$个，则不存在回文串，否则就一定存在回文串（$n\ge 3$）。如果有 $1$ 个字母 $\alpha$出现的次数为基数，则$n$ 为奇数，且 $S[\lceil x/2\rceil ]=\alpha$。

假设现在有一个回文串$S^{\prime }$，则形如 $S^{\prime }$的回文串一共有${\prod }_{i=1}^{n}sum[s[i]]!$ 个，$sum[\alpha ]$ 表示字母 $\alpha$通过出现的次数。该计算公式中的阶乘是字母的全排列数，因为每个字母能够到其他相同字母的位置，而这不改变字符串形式，如$a_{1}b{a}_{2}b{a}_3,a_{1}b{a}_{3}b{a}_2,a_{2}b{a}_{1}b{a}_3,a_{2}b{a}_{3}b{a}_1,a_{3}b{a}_{1}b{a}_2,a_{3}b{a}_{2}b{a}_1$这些回文串；而连乘积符号表示不同字母间的关系为互不影响，相乘的关系（乘法原理），如$a_1{b}_1{a}_2{b}_2{a}_3,a_1{b}_1{a}_3{b}_2{a}_2,a_2{b}_1{a}_1{b}_2{a}_3,a_2{b}_1{a}_3{b}_2{a}_1,a_3{b}_1{a}_1{b}_2{a}_2,a_3{b}_1{a}_2{b}_2{a}_1,a_1{b}_2{a}_2{b}_1{a}_3,a_1{b}_2{a}_3{b}_1{a}_2,a_2{b}_2{a}_1{b}_1{a}_3,a_2{b}_2{a}_3{b}_1{a}_1,a_3{b}_2{a}_1{b}_1{a}_2,a_3{b}_2{a}_2{b}_1{a}_1$

这些回文串。

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上述是有一个形如$S^{\prime }$的回文串，求出相同形式的回文串的个数，那我们还要求知道有多少个不同形式的回文串，计算公式为

$$\lfloor n/2\rfloor !-\prod _{i=1}^n\lfloor sum[s[i]]/2\rfloor !$$

$\lfloor n/2\rfloor$表示字符串的一半边，由于字符串为回文串，则左右对称，确定了一半边后另一半边也就确定了，本文以左半边为例作为要确定的对象。

$\lfloor n/2\rfloor !$表示左半边的全排列数，这里必定存在一些回文串，先将每个字母平均地分到左右两边（奇数个数的除外，分$\lfloor sum[\alpha ]\rfloor$个到左边和右边），只有右边的字母对应着左边的字母排放即可形成回文串。左边的排列数有$\lfloor n/2\rfloor !$个，但是这些不全是不同形式的，可能存在相同形式，这就是要减去${\prod }_{i=1}^n\lfloor sum[s[i]]/2\rfloor !$的原因，具体细节与上文所述的求相同形式的回文串的个数个公式相似。

具体在求排列数（阶乘）时有一些相关的模运算，和逆元的应用，具体见下文代码。

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AC Code

（1）Code

#include <bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  typedef long long LL;
  const int N = 2010,mod = 1e9+7;
  LL a[N];
  string str;
  map<
  char,int>mp;
  void init(int n)
  {
  a[0]=1;
  for (int i=1;i<=n;i++)
  a[i]=((LL)a[i-1]*i)%mod;
  }
  LL qmi(int a,int k)
  {
  LL res=1;
  while (k)
  {
  if (k&
  1) res=res*a%mod;
  a=(LL)a*a%mod;
  k>>=1;
  }
  return res;
  }
  int main()
  {
  int n,tot=0;
  cin>>n>>str;
  init(n);
  LL k=1;
  for (int i=0;i<n;i++)
  mp[str[i]]++;
  for (auto it=mp.begin();it!=mp.end();it++)
  {
  if (it->second&
  1) tot++;
  k=k*a[it->second/2]%mod;
  }
  LL ans=a[n],num=a[n/2]*qmi(k,mod-2)%mod;
  if (tot>
  1) printf("%lld",ans);
  else
  {
  for (auto it=mp.begin();it!=mp.end();it++)
  num=num*a[it->second]%mod;
  printf("%lld\n",(ans-num+mod)%mod);
  }
  return 0;
  }

（2）一些细节

1、模运算的一些运算公式与法则不适用与除法，需要使用逆元，否则：

2、在有关模运算时，如用到减法，需要记得先加模数再取模，如 printf("%lld\n",(ans-num+mod)%mod);，否则：

END

感谢观看，如有问题欢迎指出。

更新日志

1. 2025/09/07 开始书写本篇 CSDN 博客，并完稿发布。