完整教程：悬链线问题的变分法求解：固定长度下的最小势能与边界条件分析

题目

问题1：一根重型柔性但不可伸长的线（链）的长度和能量分别为

$$L={\int }_0^a\sqrt{1+u^{\prime 2}}dx,\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$U=\rho g{\int }_0^{a}u\sqrt{1+u^{\prime 2}}dx\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中 $$\rho$$ 是线密度。

(a) 写出在长度$$L$$固定的情况下最小化能量$$U$$ 的方程。

(b) 找到满足$$u(0)=h_0$$，$$u(a)=h_1$$ 的解。

解决问题

(a) 最小化能量$$U$$ 的方程

为了在长度 $$L$$固定的情况下最小化能量$$U$$，应用拉格朗日乘子法。定义拉格朗日泛函：

$$J[u]=U-\lambda L={\int }_0^a\left[\rho gu\sqrt{1+u^{\prime 2}}-\lambda \sqrt{1+u^{\prime 2}}\right]dx={\int }_0^a\left[(\rho gu-\lambda )\sqrt{1+u^{\prime 2}}\right]dx,$$

其中 $$\lambda$$是拉格朗日乘子。令$$H(u,u^{\prime })=(\rho gu-\lambda )\sqrt{1+u^{\prime 2}}$$。根据欧拉-拉格朗日方程：

$$\frac{\partial H}{\partial u}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial H}{\partial u^{\prime }}\right)=0.$$

计算偏导数：

$$\frac{\partial H}{\partial u}=\rho g\sqrt{1+u^{\prime 2}},$$

$$\frac{\partial H}{\partial u^{\prime }}=(\rho gu-\lambda )\frac{u^{\prime }}{\sqrt{1+u^{\prime 2}}}.$$

因此，欧拉-拉格朗日方程为：

$$\rho g\sqrt{1+u^{\prime 2}}-\frac{d}{dx}\left[(\rho gu-\lambda )\frac{u^{\prime }}{\sqrt{1+u^{\prime 2}}}\right]=0.\text{\hspace{1em}(3)}$$

这就是在长度$$L$$固定时最小化能量$$U$$ 的方程。

(b) 满足边界条件的解

方程 (3) 的解形式为：

$$u(x)=\frac{\lambda }{\rho g}+c\cosh \left(\frac{x-b}{c}\right),\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $$c$$ 和 $$b$$ 是常数，$$\lambda$$是拉格朗日乘子。边界条件$$u(0)=h_0$$ 和 $$u(a)=h_1$$ 给出：

$$u(0)=\frac{\lambda }{\rho g}+c\cosh \left(\frac{-b}{c}\right)=h_0,\text{\hspace{1em}(5)}$$

$$u(a)=\frac{\lambda }{\rho g}+c\cosh \left(\frac{a-b}{c}\right)=h_1.\text{\hspace{1em}(6)}$$

长度约束 $$L$$ 必须满足：

$$L={\int }_0^a\sqrt{1+u^{\prime 2}}dx.$$

由于 $$u^{\prime }=\sinh \left(\frac{x-b}{c}\right)$$，有 $$\sqrt{1+u^{\prime 2}}=\cosh \left(\frac{x-b}{c}\right)$$，因此：

$$L={\int }_0^a\cosh \left(\frac{x-b}{c}\right)dx=c{\left[\sinh \left(\frac{x-b}{c}\right)\right]}_0^a=c\left(\sinh \left(\frac{a-b}{c}\right)+\sinh \left(\frac{b}{c}\right)\right).\text{\hspace{1em}(7)}$$

方程 (5)、(6) 和 (7) 共同决定了常数$$\lambda$$、$$c$$ 和 $$b$$，从而得到满足边界条件和长度约束的解。解的具体形式取决于参数$$h_0$$、$$h_1$$ 和 $$L$$ 的值。