学习笔记：动态开点

洛谷博客

什么是动态开点

我们发现，线段树的一次操作只与一个链有关，有一些节点可能是从头到尾都用不到的。所以我们可以在建树时，不开满 \(4 \times n\) 的空间，而是在使用这个点的时候才建立这个点。

例如下面这张图：

我们首先存 \(2\) ，先从根节点 \(root\) 开始查找。

1. 发现 \(2\) 在 \(1-5\) 中，我们发现并没有这个点，那么建立。

2. 发现 \(2\) 在 \(1-3\) 中，我们发现并没有这个点，那么建立。

3. 发现 \(2\) 在 \(1-2\) 中，我们发现并没有这个点，那么建立。

4. 建立点 \(2\)。

接着存 \(3\)。

1. 发现 \(3\) 在 \(1-5\) 中，我们发现已经有这个点，不进行操作。

2. 发现 \(3\) 在 \(1-3\) 中，我们发现已经有这个点，不进行操作。

3. 建立点 \(3\)。

以此类推。

最后我们发现，点 \(1\)，点 \(4\)，点 \(6\) 没有被建立。这是数据小的情况，如果数据规模很大，省下的空间是非常可观的。

动态开点适用于什么问题

动态开点一般在 \(n\) 很大（例如 \(n \le 10^9\)）的时候使用。

动态开点的基本框架

pushup

void pushup(int o){a[o].s=a[a[o].l].s+a[a[o].r].s;}

update

跟着上文的思路走。

void update(int l,int r,int dl,int dr,int v,int &o){
	if(o==0) o=++cnt,a[o].tag=0;
	if(dl<=l&&r<=dr){
		a[o].s=v*(r-l+1);
		a[o].tag=v+1;
		return; 
	} 
	pushdown(l,r,o);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(dl<=mid) update(l,mid,dl,dr,v,a[o].l);
	if(dr>mid) update(mid+1,r,dl,dr,v,a[o].r);
	pushup(o);
}

query

对于查询操作，遇到一个没有访问过的节点，直接返回。

int query(int l,int r,int x,int y,int o){
	if(o==0) return 0;
	if(l==x&&r==y) return c[o];
	int mid=(l+r)>>1;
	if(y<=mid) return query(l,mid,x,y,a[o].l);
	else if(x>mid) return query(mid+1,r,x,y,a[o].r);
	return query(l,mid,x,mid,a[o].l)+query(mid+1,r,mid+1,y,a[o].r);
}

实战演练

CF915E Physical Education Lessons

动态开点模板题。（当然你也可以用珂朵莉树做）