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2 定义
3 ⒈ 对于一个集合D，D中任意有限个点的线性组合的全体称为D的凸包。
4 ⒉ 对于一个集合D，所有包含D的凸集之交称为D的凸包。
5 可以证明，上述两种定义是等价的
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7 概念
8 1. 点集Q的凸包（convex hull）是指一个最小凸多边形，满足Q中的点
9 或者在多边形边上或者在其内。
10 2. 一组平面上的点，求一个包含所有点的最小的凸多边形，这就是凸包
11 问题了。这可以形象地想成这样：在地上放置一些不可移动的木桩，用
12 一根绳子把他们尽量紧地圈起来，并且为凸边形，这就是凸包了。
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14 常用方法：
15 穷举法，格雷厄姆扫描法，分治法，蛮力法和Jarris步进法
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17 格雷厄姆扫描法思路：
18 （1）求平面点集 S 中 Y 坐标最小的点 p0；
19 （2）以 p0 为源点，变换 S-{p0}中所有点的坐标；
20 （3）以 p0 为源点，计算 S-{p0}中所有点的幅角；
21 （4）以幅角的非降排序 S-{p0}中所有的点，令事件调度点 T={p1,p2,…, pn-1}是排序过的数组。
22 （5）初始化堆栈：令 CHS[0]=pn-1，CHS[1]=p0；令堆栈指针 sp=1，事件调度点数组T的下标 k＝0。
23 （6）如果 k<n-1，转步骤（7）；否则，算法结束。
24 （7）计算CHS[sp - 1],CHS[sp] = p0,T[k]所构成的三角区负号D，所
25 D>=0，sp = sp + 1，CHS[sp] = T[k]，k = k + 1，转步骤（6）；否则，sp = sp - 1，转步骤（6）。
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27 问题描述
28 某大学 ACM 集训队，不久前向学校申请了一块空地，成为自己的果园。全体队员兴
29 高采烈的策划方案，种植了大批果树，有梨树、桃树、香蕉……。后来，发现有些坏蛋，
30 他们暗地里偷摘果园的果子，被 ACM 集训队队员们发现了。因此，大家商量解决办法，
31 有人提出：修筑一圈篱笆，把果园围起来，但是由于我们的经费有限，必须尽量节省资金，
32 所以，我们要找出一种最合理的方案。由于每道篱笆，无论长度多少，都是同等价钱。所
33 以，大家希望设计出来的修筑一圈篱笆的方案所花费的资金最少。有人已经做了准备工作，
34 统计了果园里所有果树的位置，每棵果树分别用二维坐标来表示，进行定位。现在，他们
35 要求全体队员，每人给出一个最合理的方案，来解决修筑篱笆所遇到的困难。要求根据所
36 有的果树的位置，找出一个 n 边形的最小篱笆，使得所有果树都包围在篱笆内部，或者在
37 篱笆边沿上。
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39 输入：
40 每行有 2n+1 个整数，第一个为 n，表示果园里面共有n 棵果树，接着2n个数，分别成对
41 的表示每棵果树pi(xi,yi)的位置，(x1,y1)，(x2,y2)，...，(xn,yn),3 <= n <= 100，其中，
42 -100 <= xi,yi <= 100
43
44 输出：
45 把设计出来最小 n 边形篱笆的 n 个顶点坐标按逆时针的顺序输出，每个坐标用空格分
46 开，每个坐标的格式为“(x,y)”。注意，第一个顶点，必须是所有顶点中最低、最左的点。
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48 输入样例：
49 5 -1 -1 4 3 1 1 0 3 4 0
50
51 输出样例：
52 （-1，-1） （4，0） （4，3） （0，3）
53 */
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55 #include <iostream>
56 #include <algorithm>
57 #include <cmath>
58 #include <vector>
59 using namespace std;
60
61 struct Point
62 {
63 int x;
64 int y;
65 };
66
67 Point p[101];
68 Point min_ld;
69 int n;
70 Point result[101];
71
72 //求出两个点的距离
73 double Distance( const Point &a, const Point &b )
74 {
75 return sqrt((double)( (a.x - b.x) * (a.x - b.x ) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y) ) );
76 }
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78 ///求叉积
79 int Cross( const Point &s, const Point &p, const Point &q )// sp, sq
80 {
81 Point sp , sq;
82 sp.x = p.x - s.x;
83 sp.y = p.y - s.y;
84 sq.x = q.x - s.x;
85 sq.y = q.y - s.y;
86 return (sp.x * sq.y - sp.y * sq.x);
87 }
88
89 bool Cmp( const Point &a, const Point &b )
90 {
91 double d1 = Distance( a, min_ld );
92 double d2 = Distance( min_ld, b );
93 if( d1 < 1e-10 || d2 < 1e-10 )
94 return d1 < d2;
95
96 double cos1 = ((double)(a.x - min_ld.x))/ d1;
97 double cos2 = ((double)(b.x - min_ld.x))/ d2;
98 if( fabs( cos1 - cos2 ) < 1e-10 )
99 return d1 < d2;
100 else
101 return cos1 > cos2;
102 }
103 int main()
104 {
105 int k;
106 int top;
107 while( cin >> n )
108 {
109 for(int i = 0; i < n; i++ )
110 {
111 cin >> p[i].x >> p[i].y;
112 }
113 k = 0;
114 for(int i = 1; i < n; i++ )
115 {
116 if( (p[i].y < p[k].y ) || ( p[i].y == p[k].y && p[i].x <p[k].x ) )
117 {
118 k = i;
119 }
120 }
121 swap( p[0], p[k] );
122 sort( p + 1, p + n, Cmp );
123 //cout << '(' << p[0].x << ',' << p[0].y << ')';
124 //for( i = 1; i < n; i++ )
125 // cout << ' ' << '(' << p[i].x << ',' << p[i].y << ')';
126 //cout << endl;
127 result[0] = p[0];
128 result[1] = p[1];
129 //result[2] = p[2];
130 top = 1;
131 for(int i = 2; i < n; i++ )
132 {
133 while( top > 0 && Cross( result[top], result[top - 1], p[i] ) >= 0 )
134 --top;
135 result[++top] = p[i];
136 }
137 cout << '(' << result[0].x << ',' << result[0].y << ')';
138 for(int i = 1; i <= top; i++ )
139 cout << ' ' << '(' << result[i].x << ',' << result[i].y << ')';
140 cout << endl;
141 }
142 return 0;
143 }
浙公网安备 33010602011771号