算法导论-13.贪心算法

与动态规划类似,贪心算法也将问题化简为规模较小的子问题,并通过递归解决子问题来获取整个问题的解。不同的是,贪心问题不对子问题进行比较,而是只生成一个非空的子问题,而使选择在当时看上去是最优的(即“贪心”的含义)

活动选择问题

几个互相竞争的活动都要求以独占的方式占用某个公用资源(如选修课程对个人可支配时间的要求,或会议对会议室的要求),每个活动都有开始时间和结束时间。如何安排活动,使在总时间内开展的活动次数最多?形式化的,一组活动组成的集合 $S={a_1,a_2...a_n}$ ,每一个活动 $a_i$ 都有开始时间 $s_i$ 和结束时间 $f_i$ 。求一组互相兼容的活动的最大子集合 $S'$。

贪心算法:

将所有活动按照结束时间排序,得到新的 $S$,首先选取结束时间最小 $a_1$ 的加入解 $S'$,然后检查 $a_2$ ,如果 $a_2$ 的开始时间大于当前已加入解的所有活动(目前就一个 $a_1$)的结束时间,那么就舍弃之,否则将其加入解 $S'$ ,再检查 $a_3$,以此类推。

能够证明,贪心算法获取的是全局最优解:

我们可以说,在排序后的 $S$,第一个活动 $a_1$(结束时间最早的活动)一定在最优解 $S'$ 中。为什么呢?因为假设 $S'$ 不包含 $a_1$,那么一定包含一个与 $a_1$ 不兼容的 $a_i$ ,是吧?(如果这都不能满足,直接向 $S'$ 中加入 $a_1$ ,得到的新子集就比 $S'$ 多了一个元素,那么 $S'$ 就不是最优解了)然后,我们可以断言,从 $S'$ 去掉 $a_i$ 再加上 $a_1$,$S'$ 仍然是最优解。

为什么呢?因为 $a_1$ 的结束时间是最早的,所以 $a_i$ 与 $a_1$ 不兼容的方式只能是:$a_i$ 的开始时间比 $a_1$ 结束时间早(但结束时间比 $a_1$ 结束时间晚),而且因为 $S'$ 中除了 $a_i$ 的其他活动都与 $a_i$ 兼容(理所当然,否则 $S'$ 连解都不是,何谈最优解?),这些其他活动都会出现在 $a_i$ 后面(也就是这些活动的开始时间比 $a_i$ 的结束时间晚),而不是前面。如果出现在前面呢? 拜托,如果这些活动在 $a_i$ 前面,那么这些活动的结束时间比 $a_i$ 的开始时间早,也就是比 $a_1$ 的结束时间早。这怎么可能呢?$a_1$ 就是$S$ 中具有最早结束时间的活动了啊。

原理说起来拗口,实现做起来却相当简单:

class actvty{
public:
    actvty(double start, double end, int id):_start(start),_end(end),_id(id){}
    const double getStart() const {return _start;}
    const double getEnd() const {return _end;}
    const int getId() const {return _id;}
    bool operator<(const actvty& tmp) const {return getEnd()<tmp.getEnd();}
private:
    double _start;
    double _end;
    int _id;
};

std::vector<actvty> slctn(std::vector<actvty>& all){
    std::sort(all.begin(), all.end());
    std::vector<actvty> rslt;
    double start = 0;
    for (int i=0; i<all.size(); i++){
        if (all[i].getStart() >= start){
            rslt.push_back(all[i]);
            start = all[i].getEnd();
        }
    }
    return rslt;
}

练习16.1-3 假设用多个资源对一组活动进行调度,我们希望使用尽可能少的资源来满足所有活动要求。

思路:和活动选择问题类似,只不过当一个活动不能被(当前开辟的资源)满足时,我们不是将它舍弃,而是新开辟一个资源供其使用。

0-1背包问题

窃贼在偷窃一家商店时发现有 $n$ 件物品 $S=a_1,a_2...a_n$ ,每一件物品 $a_i$ 都有其价值 $v_i$ 和重量 $w_i$ ,作为一个有尊严的窃贼,他曾发誓每次只偷最多 $W$ 重量的货物,那么如何在不违背誓言的情况下,从赃物中获得最大的价值?

贪心算法:

将所有物品按照 $v_i/w_i$ 值(姑且称为“单价”吧)排序,然后先拿单价最高的,然后拿单价次高的,如果拿到一个物品后超重了,那就舍弃它并继续上述过程,直到商店里所有剩下物品中的任意一件都会使盗贼的赃物超重。

0-1背包问题是NP的,所以贪心算法不保证最优解。一个简单的例子就是:窃贼只偷取 10kg 物体,商店里只有两件物品,一件1kg,价值20元,单价20,另一件9.5kg,价值950元,单价10元。如果窃贼遵循贪心算法,就不能获得最优解了。

习题16.2-4 某教授驾车从 A 地到 B 地,总里程数确定。油箱中的汽油能支持的里程也是确定的,途中有若干个加油站。教授希望加油的次数尽量少,请确定需要加油的加油站,支持教授的车驶完全程。(假设教授出发时邮箱是满的)。

贪心算法:当途径某个加油站时,只有当油箱中的油已经不足以撑到下一个加油站时,才去加满油。

这个算法可以证明是最优的,即假设加油站序列为 $S={s_1,s_2...s_n}$,贪心解中的第一个加油站为 $s_i$ 一定在最优解中。如果 $s_i$ 不在最优解中,那么最优解中一定有一个加油站 $s_p$ 在 $s_i$ 之前,否则车开不到 $s_i+1$ 。假设最优解中的第二个加油站为 $s_q$ ,那么从最优解中去掉 $s_p$ 加上 $s_q$ 仍然是最优解。

习题16.2-7 两个集合 $A$ 和 $B$ ,各有 $n$ 个正整数,你可以按照自己的意愿对其进行排序。重新排序后,设 $a_i$ 为 $A$ 中的第 $i$ 个元素,$b_i$ 为 $B$ 中的第 $i$ 个元素。请排序元素,使 $\prod a_{i}^{b_{i}}$ 最大。

思路:全部递增排序就是。证明也很简单,就是证明当 $a_1>b_1$ 且 $a_2>b_2$ 时(当然都是正整数啊),$a_1^{b_1}>a_2^{b_2}$ 。

posted @ 2013-03-14 18:44 一叶斋主人 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏