信号处理-傅里叶变换

连续时间傅里叶变换

  周期信号可是使用复指数信号的线性组合，对于分析线性时不变系统有很重要的性质。傅里叶最重要的贡献之一就是把周期信号推广到非周期信号，傅里叶曾认为：一个非周期信号能够看成周期无限长的周期信号。
  现在考虑一个信号\(x(t)\)，它具有有限持续期，即对某\(T_1\)，当\(|t|>T_1\)时，\(x(t) = 0\)，如图a所示：


从这个非周期信号出发，可以构成一个周期信号$\tilde{x}(t)$，使$x(t)$就是$\tilde{x}(t)$的一个周期，如上图b所示。当$T$比较大时，$\tilde{x}(t)$就在一个更长的时段上与$x(t)$一致，随着$\tilde{x}(t)\rightarrow\infty$，对任意有限时间$t$值而言，$\tilde{x}(t) = x(t)$。有傅里叶级数我们可以得出： $$\tilde{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_ke^{jk{\omega_0}t}}$$ $$a_k = \frac1T\int_{-T/2}^{+T/2}{\tilde{x}(t)e^{-jk{\omega_0}t} }$$ 其中$\omega_0 = 2\pi/T$，同时我们把$\tilde{x}(t)$替换成$x(t)$，得: $$a_k = \frac1T\int_{-T/2}^{+T/2}{\tilde{x}(t)e^{-jk{\omega_0}t} } = \frac1T\int_{-\infty}^{+\infty}{x(t)e^{-jk{\omega_0}t} }$$ 因此，我们定义$Ta_k$的包络$X(jw)$为 $$X(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty} {x(t)e^ {-jk {\omega_0} t} }\,{\rm d}t$$ 这时，系数$a_k$可以写为 $$a_k = \frac1TX(jw_0)$$ $\tilde{x}(t)$为 $$\tilde{x}(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}{\frac1TX(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}}$$ 或者，因为$2\pi/T = \omega_0$，$\tilde{x}(t)$又可以表示为 $$\tilde{x}(t) =\frac1{2\pi}\sum_{k = -\infty}^{+\infty}{X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\omega_0}$$ 随着$T\rightarrow\infty$，$\tilde{x}(t) \rightarrow x(t)$，$\omega_0 \rightarrow 0$，记$\omega_0 = \omega$则： $$x(t) =\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{X(jk\omega)e^{jk\omega t}}\,{\rm d}\omega$$ $$X(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty} {x(t)e^ {-jk {\omega} t} }\,{\rm d}t$$ 上两式即为傅里叶变换对(fourier transform pair)。函数$X(j\omega)$称为$x(t)$的傅里叶变换或者傅里叶积分(fourier integral)。上两式分别称为**综合公式**和**分析公式**