P1108 低价购买

Problem

“低价购买”这条建议是在奶牛股票市场取得成功的一半规则。要想被认为是伟大的投资者，你必须遵循以下的问题建议:“低价购买；再低价购买”。每次你购买一支股票,你必须用低于你上次购买它的价格购买它。买的次数越多越好!你的目标是在遵循以上建议的前提下，求你最多能购买股票的次数。你将被给出一段时间内一支股票每天的出售价，你可以选择在哪些天购买这支股票。每次购买都必须遵循“低价购买；再低价购买”的原则。写一个程序计算最大购买次数。

这里是某支股票的价格清单：

\[\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \textsf{日期} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \cr\hline \textsf{价格} & 68 & 69 & 54 & 64 & 68 & 64 & 70 & 67 & 78 & 62& 98 & 87 \cr\hline \end{array}\]

最优秀的投资者可以购买最多 \(4\) 次股票，可行方案中的一种是：

\[\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \textsf{日期} & 2 & 5 & 6 & 10 \cr\hline \textsf{价格} & 69 & 68 & 64 & 62 \cr\hline \end{array} \]

输入格式

第一行共一个整数 \(N\ (1 \le N \le 5000)\)，股票发行天数

第二行一行 \(N\) 个整数，是每天的股票价格。保证是大小不超过 \(2^{16}\) 的正整数。

输出格式

输出共一行两个整数，分别为最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数（数据保证 $ \le 2^{31}$）当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这 \(2\) 种方案被认为是相同的。

Solve

第一问

就是最长不下降子序列的翻版，求只下降的即可

第二问

设\(g_i\)为有多少种方案能实现\(f_i\)
如果不排除相同的方案，也就是说只要选择天数不严格相同即可，那么能造成第i天的最优结果方案数就是能转移给第i天的方案数之和
也就是说，算完f[i]后，只要有\(j<i且a_j>a_i且f_j+1=f_i\)
那么\(g_i=\sum g_j\)
回到题目，容易发现，如果\(a_i\neq a_j\)，那么\(g_i\)和\(g_j\)就不会有重复的方案
那\(a_i=a_j\)呢？
非常简单，如果\(i>j\),那么\(g_j\)的方案都会在\(g_i\)中出现,把前者清空即可
最后可以推到n+1，这样答案可以自动汇总，但是记得第一问要减一
时间复杂度\(O(n^2)\)，感觉RAM放到512MB可以降维，不知道对不对

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[5005],f[5005],g[5005];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        f[i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n+1;i++){
        for(int j=1;j<i;j++){
            if(a[i]<a[j])f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        }
        for(int j=1;j<i;j++){
            if(a[j]==a[i]&&f[i]==f[j])g[j]=0;
        }
        for(int j=1;j<i;j++){
            if(a[i]<a[j]&&f[j]+1==f[i])g[i]+=g[j];
        }
        g[i]=max(1,g[i]);
    }
    cout<<f[n+1]-1<<" "<<g[n+1];
    return 0;
}