第三章作业

1.1 状态定义：设 dp[i][j] 表示从数字三角形顶部（第 0 行第 0 列）到第 i 行第 j 列的路径最大数字和（行、列均从 0 开始计数）。
递推公式：
1，当 j = 0（当前列是第 i 行的第一列）：只能从上方（第 i-1 行第 0 列）向下移动，故 dp[i][j] = dp[i-1][0] + triangle[i][j]。
2，当 j = i（当前列是第 i 行的最后一列）：只能从左上方（第 i-1 行第 j-1 列）向下移动，故 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + triangle[i][j]。
3，当 0 < j < i（当前列是第 i 行的中间列）：可从上方或左上方移动，取两者最大值，故 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + triangle[i][j]。
边界条件：顶部元素无前置路径，dp[0][0] = triangle[0][0]（triangle[0][0] 是三角形顶部数字）。
1.2 填表法相关说明
表的维度：采用二维表格 dp，维度为 n×n（n 是数字三角形的行数）。因第 i 行最多有 i+1 个元素，表格右下角部分（j > i）无需使用，不影响结果。
填表范围：行范围从 1 到 n-1（第 0 行已由边界条件初始化），列范围从 0 到当前行的最大列索引 i。
填表顺序：按行从上到下依次填充。先填第 1 行，再填第 2 行，直至第 n-1 行。每行内按列从左到右填充，确保计算 dp[i][j] 时，其依赖的 dp[i-1][j] 和 dp[i-1][j-1] 已完成计算。
原问题最优值：第 n-1 行（最后一行）所有 dp[n-1][j]（j 从 0 到 n-1）中的最大值，即从顶部到最底部所有路径的最大和。
1.3 算法时间与空间复杂度
时间复杂度：O (n²)。需填充 n 行表格，第 i 行有 i+1 个元素，总操作次数为 1+2+3+...+n = n(n+1)/2，渐进时间复杂度为 O (n²)。
空间复杂度：O (n²)。二维表格 dp 占用 n×n 个存储单元，用于存储所有子问题的解。可优化为 O (n)（仅用一维数组存储当前行结果），但基础实现的空间复杂度为 O (n²)。
2，理解和体会
动态规划算法是一种将整个问题拆解成多个环环相扣的子问题，然后通过不断的解答出子问题最后得到最终答案的算法，这种思路能够有效的减少程序的时间复杂度，更快的得出结论。