数据结构与算法二 - 平衡二叉树
1 引言
二叉树是数据结构中的重点与难点，也是应用较为广泛的一类数据结构。二叉树的基础知识在之前的数据结构与算法——二叉树基础中已经详细介绍。本篇文章将着重介绍两类二叉树，二叉搜索树和平衡二叉树。
2 二叉搜索树
2.1 定义
二叉搜索树又称二叉查找树，亦称为二叉排序树。设x为二叉查找树中的一个节点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个节点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个节点，则key[y] >= key[x]。
2.2 性质
（1）若左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
（2）若右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
（3）左、右子树也分别为二叉搜索树；
例如：图2.2.1所示的二叉树为一棵二叉搜索树。
例如：图2.2.2所示不是一棵二叉搜索树，因为节点40的左孩子节点值为44，不满足二叉搜索树的定义。
2.3 节点结构
二叉树的节点结构通常包含三部分，其中有：左孩子的指针，右孩子指针以及数据域。节点的图示如下：
代码定义：
struct BSTNode
{
int key; //节点数据
struct BSTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指针 */
};
2.4 创建二叉搜索树
现有序列：A = {61, 87, 59, 47, 35, 73, 51, 98, 37, 93}。根据此序列构造二叉搜索树过程如下：
（1）i = 0，A[0] = 61，节点61作为根节点；
（2）i = 1，A[1] = 87，87 > 61，且节点61右孩子为空，故81为61节点的右孩子；
（3）i = 2，A[2] = 59，59 < 61，且节点61左孩子为空，故59为61节点的左孩子；
（4）i = 3，A[3] = 47，47 < 59，且节点59左孩子为空，故47为59节点的左孩子；
（5）i = 4，A[4] = 35，35 < 47，且节点47左孩子为空，故35为47节点的左孩子；
（6）i = 5，A[5] = 73，73 < 87，且节点87左孩子为空，故73为87节点的左孩子；
（7）i = 6，A[6] = 51，47 < 51，且节点47右孩子为空，故51为47节点的右孩子；
（8）i = 7，A[7] = 98，98 < 87，且节点87右孩子为空，故98为87节点的右孩子；
（9）i = 8，A[8] = 93，93 < 98，且节点98左孩子为空，故93为98节点的左孩子；创建完毕后如图2.4中的二叉搜索树：
2.5 查找
查找流程：
（1）如果树是空的，则查找结束，无匹配。
（2）如果被查找的值和节点的值相等，查找成功。
（3）如果被查找的值小于节点的值，递归查找左子树，
（4）如果被查找的值大于节点的值，递归查找右子树，
查找代码：
bool searchBST(BSTNode* T, int key, BSTNode* f, BSTNode **p)
{
if (!T) /* 查找不成功 */
{
*p = f;
return false;
}
else if (key == T->key) /* 查找成功 */
{
*p = T;
return true;
}
else if (key < T->key)
return searchBST(T->lchild, key, T, p); /* 在左子树中继续查找 */
else
return searchBST(T->rchild, key, T, p); /* 在右子树中继续查找 */
}
使用二叉搜索树可以提高查找效率，其平均时间复杂度为O(log2n)。
2.6 插入
插入流程：
（1）先检测该元素是否在树中已经存在。如果已经存在，则不进行插入；
（2）若元素不存在，则进行查找过程，并将元素插入在查找结束的位置。
图解过程：
代码实现：
void insertBST(BSTNode **T,int key) //此处使用二重指针是因为要修改指针的指针
{
BSTNode *s;
if(*T==NULL) //到达查找结束位置，再次位置插入元素
{
s = (BSTNode*)malloc(sizeof(BSTNode));
s->key = key;
s->lchild = NULL;
s->rchild = NULL;
*T=s;
}
else if(key<(*T)->key)//要插入的值大于当前节点，往左子树搜
{
insertBST(&((*T)->lchild),key);
}
else if(key>(*T)->key)//大于当前节点，往右子树搜
{
insertBST(&((*T)->rchild),key);
}
}
2.7 删除
1) 删除节点为叶子节点
删除叶子节点的方式最为简单，只需查找到该节点，直接删除即可。例如删除图2.4中的叶子节点37、节点51、节点60、节点73和节点93的方式是相同的。
2) 删除的节点只有左子树
删除的节点若只有左子树，将节点的左子树替代该节点位置。例如：删除图2.4中的98节点：
3）删除的节点只有右子树
删除的节点若只有右子树，将节点的右子树替代该节点位置。这种情况与删除左子树处理方式类似，不再赘述。
4）删除的节点既有左子树又有右子树。
若删除的节点既有左子树又有右子树，这种节点删除过程相对复杂。其流程如下：
（1）遍历待删除节点的左子树，找到其左子树中的最大节点，即删除节点的前驱节点；
（2）将最大节点代替被删除节点；
（3）删除左子树中的最大节点；
（4）左子树中待删除最大节点一定为叶子节点或者仅有左子树。按照之前情形删除即可。
注：同样可以使用删除节点的右子树中最小节点，即后继节点代替删除节点，此流程与使用前驱节点类似。
删除代码：
/* 从二叉排序树中删除节点p，并重接它的左或右子树。 */
bool deleteBSTNode(BSTNode* p)
{
BSTNode* q,s;
if((*p)->rchild==NULL) //右子树空则只需重接它的左子树（待删节点是叶子也走此分支)
{
q=*p;
*p=(*p)->lchild;
free(q);
}
else if((*p)->lchild==NULL) //左子树为空，只需重接它的右子树
{
q=*p;
*p=(*p)->rchild;
free(q);
}
else //左右子树均不空
{
q=*p;
s=(*p)->lchild;
while(s->rchild) // 转到左子树，然后向右到尽头（找待删节点的前驱） */
{
q=s;
s=s->rchild;
}
(*p)->key=s->key; //s指向被删节点的直接前驱（将被删节点前驱的值取代被删节点的值）
if(q!=*p)
q->rchild=s->lchild; //重接q的右子树
else
q->lchild=s->lchild; //重接q的左子树
free(s);
}
return TRUE;
}
3 平衡二叉树
3.1 定义
二叉搜索树一定程度上可以提高搜索效率，但是当原序列有序，例如序列A = {1，2，3，4，5，6}，构造二叉搜索树如图3.1。依据此序列构造的二叉搜索树为右斜树，同时二叉树退化成单链表，搜索效率降低为O(n)。
在此二叉搜索树中查找元素6需要查找6次。二叉搜索树的查找效率取决于树的高度，因此保持树的高度最小，即可保证树的查找效率。同样的序列A，改为图3.2方式存储，查找元素6时只需比较3次，查找效率提升一倍。
可以看出当节点数目一定，保持树的左右两端保持平衡，树的查找效率最高。这种左右子树的高度相差不超过1的树为平衡二叉树。
3.2 平衡因子
定义：某节点的左子树与右子树的高度(深度)差即为该节点的平衡因子（BF,Balance Factor），平衡二叉树中不存在平衡因子大于1的节点。在一棵平衡二叉树中，节点的平衡因子只能取-1、1或者0。
3.3 节点结构
定义平衡二叉树的节点结构：
typedef struct AVLNode *Tree;
typedef int ElementType;
struct AVLNode
{
int depth; //深度，这里计算每个结点的深度，通过深度的比较可得出是否平衡
Tree parent; //该结点的父节点，方便操作
ElementType val; //结点值
Tree lchild;
Tree rchild;
AVLNode(int val=0) //默认构造函数
{
parent=NULL;
depth=0;
lchild=rchild=NULL;
this->val=val;
}
};
对于给定结点数为n的AVL树，最大高度为O(log2n)。
3.4 左旋与右旋
1） 左旋
如图3.4.1所示的平衡二叉树
如在此平衡二叉树插入节点62，树结构变为：
可以得出40节点的左子树高度为1，右子树高度为3，此时平衡因子为-2，树失去平衡。为保证树的平衡，此时需要对节点40做出旋转，因为右子树高度高于左子树，对节点进行左旋操作，流程如下：
（1）节点的右孩子替代此节点位置
（2）右孩子的左子树变为该节点的右子树
（3）节点本身变为右孩子的左子树
图解过程：
2）右旋
右旋操作与左旋类似，操作流程为：
（1）节点的左孩子代表此节点
（2）节点的左孩子的右子树变为节点的左子树
（3）将此节点作为左孩子节点的右子树。
图解过程：
3.5 插入
假设一颗 AVL 树的某个节点为A，有四种操作会使 A 的左右子树高度差大于 1，从而破坏了原有 AVL 树的平衡性。平衡二叉树插入节点的情况分为以下四种：
1） A的左孩子的左子树插入节点(LL)
例如：图3.5.1所示的平衡二叉树：
节点A的左孩子为B，B的左子树为D，无论在节点D的左子树或者右子树中插入F均会导致节点A失衡。因此需要对节点A进行旋转操作。A的平衡因子为2，值为正，因此对A进行右旋操作。
图解过程：
代码实现：
//LL型调整函数
//返回:新父节点
Tree LL_rotate(Tree node)
{
//node为离操作结点最近的失衡的结点
Tree parent=NULL,son;
//获取失衡结点的父节点
parent=node->parent;
//获取失衡结点的左孩子
son=node->lchild;
}
