1525 F. Goblins And Gnomes (最小顶点覆盖输出方案)

https://codeforces.com/contest/1525/problem/F

题解:

容易发现最少用几个怪占用图就是求最小路径覆盖

这是网络流经典题

容易猜测出每次删一个点的出边或入边能让最小路径覆盖+1

所以比较暴力可以跑n^2次网络流

复杂度n^5 可以通过

下面有一种比较妙的做法

考虑最大匹配=最小顶点覆盖=n-最小路径覆盖

有一个结论:

最小定点覆盖的方案可以是 左边的从S不能到达的点 和 右边的从S能到达的点的 并

这个比较好证明

现在另一个要证明的是

删掉任意一个左边点的所有出边或者任意一个右边点的所有入边 这个图的最小顶点覆盖--

证明:

我们可以把删出边看做把S->i这条边删了,右边同理

如果删左边一个点,由于$dis[s][i]==-1$,所以无法有流能代替原本的$S->i$,所以最大流--

如果删右边一个点,由于$dis[s][i]!=-1$,这代表当前一定不存在有边能从$i->T$,否则就可以增广了,所以同上可以证明

于是我们以任意顺序删除这些点都能保证每次最大流--

代码:

//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")

//#include <immintrin.h>
//#include <emmintrin.h>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,h,t) for (int i=h;i<=t;i++)
#define dep(i,t,h) for (int i=t;i>=h;i--)
#define ll long long
#define me(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define IL inline
#define rint register int
inline ll rd(){
    ll x=0;char c=getchar();bool f=0;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    return f?-x:x;
}
char ss[1<<24],*A=ss,*B=ss;
IL char gc()
{
    return A==B&&(B=(A=ss)+fread(ss,1,1<<24,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
template<class T>void maxa(T &x,T y)
{
    if (y>x) x=y;
}
template<class T>void mina(T &x,T y)
{
    if (y<x) x=y;
}
template<class T>void read(T &x)
{
    int f=1,c; while (c=gc(),c<48||c>57) if (c=='-') f=-1; x=(c^48);
    while(c=gc(),c>47&&c<58) x=x*10+(c^48); x*=f;
}
const int mo=1e9+7;
ll fsp(int x,int y)
{
    if (y==1) return x;
    ll ans=fsp(x,y/2);
    ans=ans*ans%mo;
    if (y%2==1) ans=ans*x%mo;
    return ans;
}
struct cp {
    ll x,y;
    cp operator +(cp B)
    {
        return (cp){x+B.x,y+B.y};
    }
    cp operator -(cp B)
    {
        return (cp){x-B.x,y-B.y};
    }
    ll operator *(cp B)
    {
        return x*B.y-y*B.x;
    }
    int half() { return y < 0 || (y == 0 && x < 0); }
};
struct re{
    int a,b,c;
};
const int N=200;
int head[N],tot,cur[N],deep[N];
struct node{int n,to,l;} e[N*N*2];
inline void add(int u,int v,int l){
    e[++tot].n=head[u];e[tot].to=v;head[u]=tot;e[tot].l=l;
    e[++tot].n=head[v];e[tot].to=u;head[v]=tot;e[tot].l=0;
}
inline bool bfs(int s,int t){
    queue<int> q;
    memset(deep,0,sizeof(deep));
    memcpy(cur,head,sizeof(head));
    q.push(s);deep[s]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=e[i].n){
            int v=e[i].to;
            if(e[i].l>0&&!deep[v]){
                deep[v]=deep[u]+1;q.push(v); 
            }
        }
    }
    return deep[t];
}
int dfs(int u,int t,int l){
    if(u==t||!l)return l;
    int f,flow=0;
    for(int &i=cur[u];i;i=e[i].n){
        int v=e[i].to;
        if(deep[v]==deep[u]+1&&(f=dfs(v,t,min(l,e[i].l)))){
            e[i].l-=f;e[i^1].l+=f;l-=f;flow+=f;
            if(!l)break;
        }
    }
    return flow;
}
int S,T,n,m,k;
ll a[N],b[N];
ll dp[N][N]; 
int p[N][N];
int main()
{
   freopen("1.in","r",stdin);
   freopen("1.out","w",stdout);
   ios::sync_with_stdio(false);
   cin>>n>>m>>k;
   S=0,T=2*n+1; tot=1;
   rep(i,1,n) add(S,i,1),add(i+n,T,1);
   rep(i,1,m)
   {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        add(x,y+n,1);
   }
   int ans=0; 
   while (bfs(S,T)) ans+=dfs(S,T,1e9);
   int now=n-ans;
   if (now>k)
   {
       cout<<k<<endl;
        rep(i,1,k) cout<<0<<" ";
        return 0;
   } 
   int gg=k-now+1;
   vector<int> ve;
   rep(i,1,n)
   {
     if (!deep[i]) ve.push_back(i);
     if (deep[i+n]) ve.push_back(-i);
   }
   random_shuffle(ve.begin(),ve.end()); 
   rep(i,1,k) cin>>a[i]>>b[i];
   rep(i,1,k) dp[0][i]=-1e18;
   rep(i,1,k)
   {
     rep(j,0,gg) dp[i][j]=-1e18;
     rep(j,max(0,i-now+1),gg)
       rep(t,0,j)
       {
            ll now=dp[i-1][j-t]+max(0ll,a[i]-t*b[i]);
          if (now>dp[i][j])
          {
             dp[i][j]=now;
             p[i][j]=j-t;
          }
       }
   }
   now=gg;
   vector<int> ve2;
   dep(i,k,1)
   {
        int g=now-p[i][now];
        ve2.push_back(0);
        while(g--) ve2.push_back(ve.back()),ve.pop_back();
     now=p[i][now]; 
   }
   cout<<ve2.size()<<endl;
   reverse(ve2.begin(),ve2.end());
   for (auto v:ve2) cout<<v<<" ";
   return 0; 
}
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posted @ 2021-05-18 14:57  尹吴潇  阅读(156)  评论(0编辑  收藏  举报