吉司机线段树的复杂度证明

请注意，本文只有复杂度证明，没有算法简介，如果您要学习该算法，请移步 https://oi-wiki.org/ds/seg-beats/

以下所有说明均以 区间取min 为例。

单点修改，区间取最值

时间复杂度:\(O(n\log n + m \log n )\)

设计每个点的势能函数 \(\phi(u)\) 为其管辖区间内不同值的数量。

比如 \([1,2,4,1,2]\) 就是 \(3\)。

我们发现影响复杂度的关键在于当 \(x<max_2(u)<max_1(u)\) 时的暴力向下递归。

发现每当一个点被暴力向下递归一次，他的 \(\phi(u)\) 就会减少 \(1\) ，（很明显因为至少 \(max_1\) 和 \(max_2\) 都会变为 \(x\)）。

分析一下总势能。

初始势能：\(O(n\log n)\) （最坏所有初始的数均不一样）

单点修改：\(O(\log n)\)（因为最多影响一条链）

故复杂度为 \(O(n\log n + m \log n )\)。

区间修改，区间取最值

时间复杂度:\(O(n\log n + m \log^2 n )\)

设计每个点的势能函数 \(\phi(u)\) 为 \([max_1(u)\ne max_1(fa(u))]\)

比如图中最左边的叶子的 \(\phi(u)\) 就是 \(1\) ，第三个叶子就是 \(0\)。

同样的，影响复杂度的关键在于当 \(x<max_2(u)<max_1(u)\) 时的暴力向下递归。

发现每当一个点被暴力向下递归一次，他某个后代的 \(\phi(u)\) 就会减少 \(1\) ，（因为存在 \(max_1(u)\) 和 \(max_2(u)\) 就说明有一个后代的 \(max_1(v)\) 是 \(max_2(u)\) ，那个点就和父亲不一样，然后现在那个点要被抹平）。

所以 \(1\) 的势能可以带来 \(O(\log n)\) 的复杂度（因为最差是一整条链服务一个点）。

分析一下总势能。

初始势能：\(O(n)\) （最坏所有点和父亲不一样）

区间修改：\(O(\log n)\)（因为只会影响 \(O(\log n)\) 个点）

故复杂度为 \(O(n\log n + m \log^2 n)\)。