多项式

推荐扶苏的 FFT 题解，讲得很不错。

一些记号

变量、数组会使用小写字母。

多项式会使用大写字母。一般大小写对应，如 \(A\) 是 \(a\) 的普通生成函数。\(A(x)\) 表示 \(x\) 代入后的取值。一般来说，生成函数会表示成关于 \(x\) 的幂指数形式。

多项式间的计算分为卷积（\(\times\)）和对应位相乘（\(\cdot\)）。其它就不多说了。

系数表示法

一个 \(n\) 次多项式 \(A\) 可以由长 \(n+1\) 的数列 \(a\) 唯一生成。

这种表示法的多项式卷积 \(C=A\times B\)，有 \(c_{x}=\sum_y a_y b_{x-y}\)，\(O(n^2)\)。

点值表示法

一个 \(n\) 次多项式 \(A\) 可以由 \(n+1\) 个横坐标不同的平面点对唯一生成。

点值表示的优势是点对的横坐标在不同的情况下可以指定。据此可以优化。

单位根优化

默认 \(n=2^k(k\in N)\)。

取 \(\omega_n\) 表示辐角为正且最小 \(n\) 次单位根，即 \(\omega_n^n=1\)。

那么多项式的点值横坐标可以取 \(x_i=\omega_n^i\)。

单位根有性质 \(\omega_{2n}^{2k}=\omega_n^k\)。

证明考虑复数的三角表示，显然有 \(\omega_n^k=\text{cos}\frac{2k\pi}{n}+\text{isin}\frac{2k\pi}{n}\)。

同样可证的还有 \(\omega_n^{k+\frac{n}{2}}=-\omega_n^k\)。

DFT

将多项式 \(A\) 变换为由 \(x_i=\omega_n^i\) 生成的点值表示。

将 \(A\) 奇偶分类。

令 \(A_1\) 为 \(a_{2i}\) 生成的多项式，\(A_2\) 为 \(a_{2i+1}\) 生成的多项式。

不难 \(A(x)=A_1(x^2)+xA_2(x^2)\)。

带入单位根 \(A(\omega_n^k)=A_1(\omega_n^{2k})+\omega_n^kA_2(\omega_n^{2k})=A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})+\omega_n^kA_2(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})\)。

或者带入 \(A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})=A_1(\omega_n^{2k+n})+\omega_n^{k+\frac{n}{2}}A_2(\omega_n^{2k+n})=A_1(\omega_n^{2k})-\omega_n^{k}A_2(\omega_n^{2k})=A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})-\omega_n^kA_2(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})\)。

也就是说，超过一半的单位根的取值可以由前一半的取值得出。复杂度自然就正确了。

IDFT

傅里叶逆变换，点值转系数。

相当于求一个反演。

推柿子后，我们发现可以做 FFT 的时候把单位根取倒，结果 /n 就是答案了。取倒数时由于 cos 是偶函数，sin 是奇函数，其实就是把虚部取反。

FFT

我们直接发现最后一层下标即二进制表示翻转。

然后自下而上合并即可。

主要是位逆序置换，即 \(rev_i=(rev_{i>>1}>>1)|((i\&1)?(n>>1):0)\)

解释起来其实也不难，将末位扣掉翻转，原来末位是 1 就在第一位加一即可。

NTT

元素的阶的定义：模 p 意义下的正整数乘法群里的阶。

原根的定义：阶为 \(\varphi(p)\) 的元素。也就是模 p 意义下的正整数乘法群的生成元。

既然和抽象代数这么有关系那该证的性质就很好证了啊。

首先是原根存在定理，由于原根能生成整个乘法群，所以存在原根当且仅当乘法群是循环群。简记：\(2,4,p^k,2p^k\)。

然后是原根判定定理，即判断原根是否是生成元。生成元判定使用的是阶是否为 \(\varphi(p)\)。具体到数论描述，就是 \(g^{\frac{\varphi(p)}{q}}\) 都满足，\(q\) 为质数。

最后是原根个数定理。这个最直接，生成元是欧拉函数级别，就是 \(\varphi(\varphi(p))\)。

你考虑上面单位根的性质，会发现原根其实就是模 p 意义下的单位根。

所以直接带入即可。可惜不能三次变两次了。

牛顿迭代

思路就是求切线以后再求 0 点迭代。

直接记公式 \(G(x)\longleftarrow G(x)-\frac{F(G(x))}{F'(G(x))}\)，每次迭代精度翻倍。

泰勒展开

不难推出。

\[f(x)=\sum_{i=0}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i \]

多项式求逆

\(F(x)G(x)=1\)

通常是求前 \(n\) 项。

直接变 \(F(x)-\frac{1}{G(x)}=0\)

于是求这个函数的 0 点。

推柿子时将 \(F(x)\) 看作常数。

不难 \(2G(x)-F(x)G^2(x)\)

边界是 0 点逆元。

FMT/FWT

首先拓展生成函数的定义。考虑集合生成函数 \(F(x)=\sum f_S x^S\)。不需要考虑集合作为指数的具体含义，这只是表示它们是同一项。

那么定义关于集合运算的卷积就很自然了。

FWT 是用于处理集合幂卷积的。

与 FFT 类似，先将两个集合幂级数 FWT，使其可以逐点相乘，再 FWT 回来。