扬华报03.线性代数入门—行列式与排列篇

0.观前提醒

西南交大的教材开门就讲矩阵的（行列式在后面，悲），不太适合一众新大一（包括我）入门（隔壁高数也一样，老师用的第五版同济小绿，我们用的第二版泥交小蓝），于是参照宋浩老师的视频重新当做笔记来做

1.行列式

1.1 什么是行列式？

行列式是\(n×n\)方阵的元素按特定规则计算出的一个数值，共有\(n!\)个展开项，符号由排序的逆序数奇偶性决定
例

\[|A|= \left|\begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{matrix}\right|\tag1 \]

1.2 怎么算？

1.2.1 对角线法则

沿着主对角线（左上至右下）方向为加，反方向为减
例

\[\left|\begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{matrix}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\tag2 \]

\[\left|\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix}\right| =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{33}a_{21}a_{12}\tag3 \]

1.2.2 行列式的展开与（代数）余子式

余子式：n阶行列式中划去\(a_{ij}\)所在的第i行和第j列后，剩余元素构成的n-1阶行列式称作\(a_{ij}\)的余子式，记作\(M_{ij}\)
代数余子式：余子式加上正负号形成代数余子式，公式为\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)，其中\((-1)^{i+j}\)决定正负号
展开原理：‌展开原理‌：n 阶行列式等于任意一行所有元素与它们对应代数余子式的乘积之和，可选择含零元素较多的行展开以降低计算量。‌
按行展开公式：\(D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+···+a_{in}A_{in}\tag4\)
按列展开公式：\(D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+···+a_{nj}A_{nj}\tag5\)

2.排列

排列指把\(1,2,...,n\)按一定顺序拍成一列
全排列：n个不同元素所有的排列方式，总数为\(n!\)
逆序：排列中大数排小数前面
逆序数：一个排列中有多少个逆序
奇偶排列：‌奇排列是逆序数为奇数的排列，偶排列是逆序数为偶数的排列‌，在全部 n(n≥2) 级排列中两者数量相等，各占总数的一半。‌‌