第三章

递归方程：dp[i][j] = a [i][j] + min ( dp [i-1][j], dp [i][j-1] )
含义：到达 (i,j) 只能从上方 (i-1,j) 向下走，或者从左方 (i,j-1) 向右走，取两条路径里费用更小的一条，再加上当前格子费用 a [i][j]。

边界条件：dp [1][1] = a [1][1] 起点费用就是自身

表维度：二维 dp [n+1][n+1]（下标从 1 开始）
填表范围：i 从 1 到 n，j 从 1 到 n
填表顺序：逐行从左往右，或者逐列从上往下；保证计算 dp [i][j] 时，它上方 dp [i-1][j]、左方 dp [i][j-1] 已经算好
原问题最优值：dp [n][n]

时间复杂度：O (n²)，空间复杂度：O (n²)

动态规划核心是抓住最优子结构和重叠子问题两个特征，把一个大问题拆解成结构相同、规模更小的子问题。做题时第一步最重要的是设计状态，状态定义不同，转移方程、填表顺序、答案位置都会完全不一样。比如数字三角形是从下往上推，LIS、最低通行费是正向推导；有的题答案在最后一个状态，有的要取全部dp值的最大值。同时要仔细理清转移方向、边界条件，边界常常对应空串、起点、第一行第一列这类不能套用通用转移式的特殊情况。动态规划要思考到这个状态可以从哪些前面的状态转移过来，子问题的最优解能不能拼成全局最优解。填表法是把递归思路落地的方式，用迭代代替递归，规避递归重复计算和栈溢出问题。