【重构】数论基础

全文重写。于 2024.1.19 开始施工。

欧拉函数

结论

• \(\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n\)

莫比乌斯反演

结论

• \([\gcd(i,j)=1]=\sum_{d\mid\gcd(i,j)}\mu(d)\)
• 如果有 \(f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)\)，则 \(g(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)f(\frac{n}{d})\)
• 如果有 \(f(n)=\sum_{n|d}g(d)\)，则 \(g(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})f(d)\)

狄利克雷卷积

对于两个数论函数 \(f(x)\)，\(g(x)\)，它们的狄利克雷卷积为 \(h(x)=\sum\limits_{d|x} f(d)g(\frac{x}{d})\)，简记为 \(h=f*g\)。
狄利克雷卷积满足结合律/交换律/分配律。

原根

阶：使得 \(a^n\equiv1\pmod{m}\) 的最小正整数 \(n\) 称为 \(a\) 模 \(m\) 的阶。
原根：若 \(\gcd(g,m)=1\)，且 \(\delta_m(g)=\varphi(m)\)，则 \(g\) 是 \(m\) 的原根。

证明：link

存在定理 一个数 \(m\) 存在原根当且仅当 \(m=2,4,p^{\alpha},2p^{\alpha}\)，其中 \(p\) 为奇素数，\(\alpha \in \mathbb{N}^{*}\)。

判定定理 设 \(m\ge 3,\gcd(a,m)=1\)，则 \(a\) 是模 \(m\) 的原根的充要条件是，对于 \(\varphi (m)\) 的每个质因数 \(p\)，都有 \(a^{\frac{\varphi(m)}{p}}\not\equiv 1\pmod m\)。

原根个数 若一个数有原根，则它原根的个数为 \(\varphi(\varphi(m))\)。

上指标翻转

\(\dbinom{n}{m}=(-1)^m \dbinom{m-n-1}{m}\)
证明

应用：OIwiki生成函数封闭形式练习5。link

证明：
upd: 之前的证明假了，已修复。

\[\begin{aligned} F(x)&=\sum\limits_n a_n x^n\\ &=\sum\limits_n \dbinom{m+n}{n} x^n\\ &=\sum\limits_n (-1)^n\dbinom{-m-1}{n}x^n\\ \end{aligned} \]

注意用的是广义二项式定理，所以 \(-m-1\) 可以是负数。
那么它就等于

\[F(x)=\frac{1}{(1-x)^{m+1}} \]

范德蒙德卷积

\(\sum\limits_{i=0}^k C_n^i \times C_m^{k-i}=C_{n+m}^k\)

CF785D Anton and School - 2
排列组合题。
设 \(L_i,R_i\) 分别表示 \([1,i]\) 中 ( 的个数、\([i,n]\) 中 ) 的个数。
那么朴素做法就是枚举括号的数量及最后一个 ( 的位置。得 \(\sum\limits_{i=1}^n [s_i=(] \sum\limits_{t=1}^n C_{L_{i-1}}^{t-1}\times C_{R_i}^t\)。
这个式子可以化成： \(\sum\limits_{i=1}^n [s_i=(] \sum\limits_{t=1}^n C_{L_{i-1}}^{L_{i-1}-t+1}\times C_{R_i}^t\)
这样就符合范德蒙德卷积的形式了。
它就等于 \(\sum\limits_{i=1}^n [s_i='('] C_{L_{i-1}+R_i}^{L_{i-1}-t+1}\)。

一车神秘组合数柿子

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