线性时间选择

例子：

• 按递增顺序，找出下面29个元素的第18个元素：8,31,60,33,17,4,51,57,49,35,11,43,37,3,13,52,6,19,25,32,54,16,5,41,7,23,22,46,29.
• (1) 把前面25个元素分为5(=floor(29/5))组；  (8,31,60,33,17),(4,51,57,49,35),(11,43,37,3,13),(52,6,19,25,32),(54,16,5,41,7).
• (2) 提取每一组的中值元素，构成集合{31,49,13,25,16}；
• (3) 递归地使用算法求取该集合的中值，得到m=25；
• (4) 根据m=25, 把29个元素划分为3个子数组：

–     P={8,4,11, 3,13,6,19,16,5,7,23,22}

–     Q={25}

–     R={31,60,33,51,57,49,35,43,37,52,32,54,41,46,29}

• (5) 由于|P|=13,|Q|=1,k=18，所以放弃P,Q，使k=18-13-1=4，对R递归地执行本算法；
• (6) 将R划分成3(floor(18/5))组：{31,60,33,51,57},{49,35,43,37,52},{32,54,41,46,29}
• (7) 求取这3组元素的中值元素分别为：{51,43,41}，这个集合的中值元素是43;
• (8) 根据43将R划分成3组：

–     {31, 33, 35,37,32, 41, 29},{43},{60, 51,57, 49, 52,54, 46}

 

• (9)  因为k=4，第一个子数组的元素个数大于k，所以放弃后面两个子数组，以k=4对第一个子数组递归调用本算法；
• (10)  将这个子数组分成5个元素的一组：{31,33,35,37,32}，取其中值元素为33；
• (11)  根据33，把第一个子数组划分成{31,32,29},{33},{35,37,41};
• (12)  因为k=4,而第一、第二个子数组的元素个数为4，所以33即为所求取的第18个小元素。

/*

 * 线性选择算法

 * 给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找出这n个元素中第k小的元素

 * 在最坏情况下，算法randomizedSelect需要O(n2)计算时间

 * 可以证明，算法randomizedSelect可以在O(n)平均时间内找出n个输入元素中的第k小元素。

 */

代码

/**递归分治算法之线性选择 */ 

import java.util.Random;

public class randomizedSelectTest {     

        private static int randomizedPartition(int[] a,int p,int r){

            int i=random(p,r);

            swap(a,i,p);//交换枢纽元素到区间左端

            return partition(a,p,r);    

        }      

        /**

         * 线性选择指定数组中第k小的元素

         * @param a 指定数组

         * @param p 区间左端

         * @param r 区间右端

         * @param k 数组的大小位置

         * @return 返回指定数组中第k小的元素

         */

        public int randomizedSelect(int[] a,int p,int r,int k){

            if(p==r)return a[p];

            int i=randomizedPartition(a,p,r);

            int j=i-p+1;//左端元素个数

            //第k小的元素在左端

            if(k<=j)return randomizedSelect(a,p,i,k);

            else//第k小的元素在右端，并且左端已经有j个比它小的元素

                //所以只要找右端中的第k-j小的元素就可以

                return randomizedSelect(a,i+1,r,k-j);

        }        

        private static int random(int i,int j){

            Random r=new Random();

            return r.nextInt(j-i)+i;    

        }

        private static int partition(int[] a,int p,int r){

           int i,j;

           i=p;

           j=r;

           if((a==null)||(a.length==0))

               return -1;

           while(i<j){

             while(i<j&&a[i]<=a[j]){//以数组start下标的数据为key，右侧扫描

                  j--;

               }

               if(i<j){//右侧扫描，找出第一个比key小的，交换位置

                  swap(a,i,j);

               }

               while(i<j&&a[i]<=a[j]){//左侧扫描（此时a[j]中存储着key值）

                  i++;

               }

               if(i<j){//找出第一个比key大的，交换位置

                  swap(a,i,j);

               }

           }

           return j;

        }        

        private static void swap(int[] a,int i,int j){

            int temp=a[i];

            a[i]=a[j];

            a[j]=temp;  

        }

        public static void main(String[] args){

            randomizedSelectTest rs = new randomizedSelectTest();

            int[] a = {4,3,6,1,5,2};

            int b = rs.randomizedSelect(a, 0, a.length-1, 3);

            System.out.println(b);

        }

    }