【数学】【背包】【NOIP2018】P5020 货币系统
Description
在网友的国度中共有 \(n\) 种不同面额的货币，第 \(i\) 种货币的面额为 \(a[i]\)，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 \(n\)、面额数组为 \(a[1..n]\) 的货币系统记作 \((n,a)\)。
在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 \(x\) 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 \(x\)，都存在 \(n\) 个非负整数 \(t[i]\) 满足 \(a[i] \times t[i]\) 的和为 \(x\)。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 \(x\) 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 \(n=3\), \(a=[2,5,9]\) 中，金额 \(1,3\) 就无法被表示出来。
两个货币系统 \((n,a)\) 和 \((m,b)\) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 \(x\)，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。
现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 \((m,b)\)，满足 \((m,b)\) 与原来的货币系统 \((n,a)\) 等价，且 \(m\) 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 \(m\)。
Input
输入文件的第一行包含一个整数 \(T\)，表示数据的组数。
接下来按照如下格式分别给出 \(T\) 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 \(n\)。接下来一行包含 \(n\) 个由空格隔开的正整数 \(a[i]\)。
Output
输出文件共有 \(T\) 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 \((n,a)\) 等价的货币系统 \((m,b)\) 中，最小的 \(m\)。
Solution
我居然被这个题差点搞退役……
观察题目给的样例，发现选择的货币集合是原集合的一个子集。
考虑证明，使用反证法，假设被选择的集合中，\(k\)是最小的在原集合中没有出现的数。因为新集合的元素能表示的原集合一定能表示，所以原集合一定存在一组数使得他们能表示出\(k\)。那么将那组数作为\(k\)，在后面可以表示\(k\)能表示出的所有数字，同时会比选择\(k\)少选择一个数，选择更优。证毕。
于是这道题选择的一定是原集合的一个子集。
考虑按照证明的思路，本题可以进一步转化为选择最少的数字拼出集合中的所有数字。这个操作可以通过完全背包实现：按照集合元素大小将元素从小到大排序，使用bool背包求出所有能被表示的数。在扫到第\(i\)个数字时，如果第\(i\)个数字不能被表示出，则将其选进集合中，使用它更新答案，否则跳过。
时间复杂度\(O(Tn\max\{a\})\)
Code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long
typedef long long int ll;
template <typename T>
inline void qr(T &x) {
rg char ch=getchar(),lst=' ';
while((ch > '9') || (ch < '0')) lst=ch,ch=getchar();
while((ch >= '0') && (ch <= '9')) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
if(lst == '-') x=-x;
}
namespace IO {
char buf[120];
}
template <typename T>
inline void qw(T x,const char aft,const bool pt) {
if(x < 0) {x=-x,putchar('-');}
rg int top=0;
do {IO::buf[++top]=x%10+'0';} while(x/=10);
while(top) putchar(IO::buf[top--]);
if(pt) putchar(aft);
}
const int maxn = 120;
const int maxt = 25010;
int t;
int n;
int MU[maxn];
bool frog[maxt];
void clear();
int main() {
qr(t);
while(t--) {
clear();
qr(n);
for(rg int i=1;i<=n;++i) qr(MU[i]);
int ans=0;
std::sort(MU+1,MU+1+n);
frog[0]=true;
for(rg int i=1;i<=n;++i) if(!frog[MU[i]]) {
++ans;
for(rg int j=0;j<=MU[n];++j) if(frog[j]) {
int k=j+MU[i];
if(k <= MU[n]) frog[k]=true;
else break;
}
}
qw(ans,'\n',true);
}
return 0;
}
void clear() {
n=0;
memset(MU,0,sizeof MU);
memset(frog,0,sizeof frog);
}
Summay
惨象，已使我目不忍视了。爆零，尤使我耳不忍闻。我还有什么话可说呢？沉默呵，沉默呵，不在沉默中爆发，就在沉默中灭亡。
