Shader着色器
面向GPU编程
矩阵
概念
以行列形式组织起来的矩形的数字块
维度和记法
n行m列矩阵，简称n x m矩阵
元素的记法：假设矩阵M，M12为第1行第2列的元素
方阵
行数与列数相同的矩阵
2x2, 3x3, 4x4的矩阵
对角线元素
仅存在方阵中
方阵中行号与列号相同的元素就是对角线元素，其余都是非对角线元素
对角矩阵
方阵中，非对角线元素都为0的矩阵就是对角矩阵
单位矩阵
方阵中，对角线元素都为1，非对角线元素都为0的矩阵就是单位矩阵
如果一个矩阵是单位矩阵，那么它一定是对角矩阵
如果一个矩阵是对角矩阵，那么它可能是单位矩阵
矩阵和向量
向量记法
行向量：x, y, z
列向量：x,
y,
z
矩阵和向量的关系
行向量
一行三列的矩阵
列向量
三行一列的矩阵
转置矩阵
对于给定矩阵M，一定存在一个转置矩阵MT
将行变为列，列变为行
例如：2x3的矩阵，转置矩阵为3x2
矩阵运算
矩阵与标量的乘法
矩阵的每一个元素与标量相乘，不会改变矩阵的维度
矩阵 * 标量 = 矩阵
矩阵与矩阵的乘法
并不是所有的矩阵都能做乘法运算
M * N如果可以做乘法运算，那么必须满足M矩阵的列数与N矩阵的行数保持一致，否则M不能与N做乘法运算
矩阵 * 矩阵 = 矩阵
如果一个矩阵M（2 x 3），与矩阵N（3 x 4），那么M * N（2 x 4）
矩阵的乘法不满足乘法的交换律（交换律：A*B = B*A），M * N != N * M
公式
图解
矩阵与向量的乘法
向量与矩阵的乘法与矩阵与矩阵的乘法公式相同
行向量(1 x 3)需放在乘法的左侧与矩阵(3 x 3)进行运算，结果还是一个行向量(1 x 3)：左乘
列向量(3 x 1)需放在乘法的右侧与矩阵(3 x 3)进行运算，结果还是一个列向量(3 x 1)：右乘
向量与矩阵乘法的几何意义
假设向量a与矩阵M相乘得到的结果是向量b，aM=b。
如果矩阵来表示某种变换的话，那么就可以说向量a通过矩阵M表示的变换，变换后得到向量b
矩阵的几何意义
描述变换的（例如：旋转，缩放，平移，投影）
变换
线性变换
变换前是直线，变换后依旧是直线，变换前是原点，变换后依旧是原点的变换
旋转，缩放，投影，切变，镜像
平移不是线性变换
线性变换使用 3x3的矩阵就能描述3维空间的下的线性变换
仿射变换
线性变换 + 平移
对于平移来说，必须使用4x4的矩阵才能描述3维空间下的平移
矩阵的行列式
只有方阵才有行列式
行列式是一个标量，并不是矩阵
对于给定的矩阵M，它的行列式记为：|M| 或 detM
2阶行列式
3阶行列式
代数余子式
代数余子式是标量，并且一个矩阵代数余子式有多个，如果矩阵为 m行n列，那么代数余子式有 m*n个
记作： Cij
公式
代数余子式可以组成代数余子式矩阵
标准伴随矩阵（adjM）
是代数余子式矩阵的转置矩阵
逆矩阵（矩阵的逆）
记作：M-1
逆矩阵 = 标准伴随矩阵 / 矩阵的行列式
注意：并不是所有的矩阵都有逆矩阵，当矩阵的行列式为0时，该矩阵没有逆矩阵
计算步骤
1、计算矩阵的行列式detM，判断矩阵是否可逆
2、计算矩阵的代数余子式矩阵
3、通过代数余子式矩阵计算标准伴随矩阵adjM
4、求逆矩阵， adjM / detM
几何意义
A向量经过矩阵M的变换得到了向量B，向量B经过M矩阵的逆矩阵变换得到了向量A，那么矩阵M与矩阵M的逆矩阵描述的变换是相反的
对于矩阵M实现的变换，𝑀−1可以实现相反 的变换
假如：矩阵M可以将向量缩放2倍，那么矩阵M的逆矩阵可以将向量缩放0.5倍
旋转矩阵
绕X轴旋转θ度
行向量左乘矩阵
列向量右乘矩阵
例如：
绕Y轴旋转θ度
行向量左乘矩阵
列向量右乘矩阵
绕Z轴旋转θ度
行向量左乘矩阵
列向量右乘矩阵
缩放矩阵
沿坐标轴缩放的矩阵
缩放矩阵中，对角线元素描述了对每个轴的缩放，注意：缩放轴需要指定，缩放系数为1时，表示没有缩放
镜像矩阵
镜像简单理解就是左右翻转，上下翻转等
以yz组成的平面进行镜像
以xz组成的平面进行镜像
以xy组成的平面进行镜像
投影矩阵
所有的点都被拉平至垂直的轴或平面上， 这种投影方式叫做正交投影
投影是需要在一个平面上完成的，表示要 投影到哪个平面，所以我们计算都是根据 平面进行投影
3D变2D的过程就是投影
公式
齐次坐标
将3位向量（x,y,z）变为4维，增加一个w分量，（x, y, z, w）
使用4维向量来表示3维空间下的坐标点或方向向量
当w = 1时，(x, y, z)表示坐标点
当w = 0时，(x, y, z)表示方向向量
平移矩阵
对于向量平移是没有意义的，只有对坐标点平移才有意义
描述3维空间下的坐标点的平移需要使用4x4矩阵
3维向量在于平移矩阵做运算时，要使用其 齐次坐标来进行运算
推导平移公式
cs代码实现自定义平面网格
