稀疏表示入门
1.稀疏学习学什么
稀疏学习的任务主要是有稀疏编码、字典学习。
关于稀疏信号的定义，这里给出4种形式：严格k稀疏信号，可压缩信号、稀疏基下的稀疏信号、稀疏基下的可压缩信号
（1）严格k稀疏信号：考虑一个有限长信号x属于Rn，如果x至多有k个非零元素，即||x||0≤k，则称信号x为严格k稀疏信号，
（2）可压缩信号：如果信号可以用一个k稀疏向量来近似表示，则称这样的信号为可压缩信号。
（3）稀疏基下的稀疏信号：大多数的情况下，信号本身不是稀疏的，但是在某些合适的基或变换下稀疏。
（4）稀疏基下的可压缩信号：给定值k，信号x的最佳近似k项元素的线性组合，称为x的最佳k稀疏近似。
字典的概念：字典A来自信号空间的元素集，其线性组合可以表示或近似表示信号。在我们经常关注的稀疏学习任务中，往往要求字典是一个扁矩阵，也称为过完备字典。
2.稀疏编码
稀疏编码的概念来自于神经生物学。生物学家提出，哺乳类动物在长期的进化中，生成了能够快速，准确，低代价地表示自然图像的视觉神经方面的能力。我们直观地可以想象，我们的眼睛每看到的一副画面都是上亿像素的，而每一副图像我们都只用很少的代价重建与存储。我们把它叫做稀疏编码，即Sparse Coding.
稀疏编码的目的是在大量的数据集中，选取很小部分作为元素来重建新的数据。
稀疏编码难点之一是其最优化目标函数的求解。
哺乳动物初级视觉皮层简单细胞的感受野的三个性质：1.空间局部化、方向性和带通特性。
X为一个n为特征向量，可以是一个小波信号，可以是一副图片等。
D为标准化的基础矩阵，由组成元素的基本原子构成，也称为字典。在信号中可以是不同频率的波形，在图像中可以是构成图像的基本边，角。
X可以由D中和少量原子线性组合而成，及其表示系数为稀疏。如下：
数学模型
引出稀疏表示的两个基本要求，1是尽可能与原特征相似，2是系数为稀疏。
上式中，我们要求p>m，根据线性代数的知识我们知道，稀疏系数有无穷多组的解。根据稀疏的条件，我们可以在所有的可行解中挑出非零元素最少的解，也就是满足稀疏性。于是得到如下的数学模型：
如果再考虑噪声的话，就得到如下的模型：
目标函数中为零范数约束，是NP难题。
有人做了一个证明，在一定条件下，上述的最优化问题有唯一的解。
Terry tao又证明了，在满足一定条件下，零范数问题与一范数问题是等价的。于是上述模型转化为：
基于上面的思想，还有各种不同版本的数学模型。
常见模型
我们知道上式为非凸优化问题，常用的解法有：greedy algorithm，代表有Matching Pursuit, Orthogonal Matching Pursuit
上式为解不等式约束问题，常用的解法：LASSO
再写成拉格朗日乘子的形式，如果已知lambda，可用soft thresholding方法，常见的还有coordinate descent, Bregman Iteration等；
如果未知lambda，则用Homotopy.
稀疏表示
一、
1、先来考虑这么一个问题：有一个信号y，假设它是mx1维的，我们现在得到了n个这样的信号（设m<<n），也可理解为对这个信号采样n次，于是我们把这n个不同的信号从1到n依次排开，就得到了一个m行n列的矩阵，记为A吧。
2、然后呢，假设我们得到了一个新的y，也就是又重新采了一次样得到y，我们可以认为矩阵A里面的信号可以估计这个新的信号y，因为A就是由不同的采样信号y组成嘛，当然可以估计这个新的信号y啦。那么如何估计呢，我们不妨设这个新的信号y是矩阵A中各个信号的线性组合，不一定全部包含A中的每一列哈，可以理解为A中有太多的这样的信号啦，我们只去其中的一部分就可以足够来表示这个新信号y啦。
3、有了上面这些信息，我们可以表示为这样：给定一个mx1的向量y，和一个mxn的矩阵A，求一个nx1向量x，使得方程y=Ax。简单吧。
这个问题很简单的一个求法就是两边同时乘以A’（A的转置），然后移项（就是两边在同时乘以A’A的逆。于是得到方程的解x=(ATA)-1AT。。（这个方法得到的是最小二乘解，应该是这么叫吧。。为什么是这样网上查一下吧）。
我们用这种放法得到解x当然是正确的。可是很有可能x向量中n个元素全是非0的。所以稀疏的问题就来了，我们能不能求一个x使它中的元素非零项的个数很少呢，比如过我要求里面只有n个里面只有5个非零项（这就是x的稀疏性为5）？就是我们想要得到A中最能表示新信号y的那几项，其他的都可以省略掉。为什么非要找最少的表示啊，多麻烦，直接解出来x就不好了啊，多简单。我这么想的，如果让你完成一件事情，需要借很多东西完成它，我可以只像10个人借就可以完成，也可以像100个人借东西完成，你说哪一个办法好呢？用最少的资源获得最大的收益哈。
4、怎么可以解得这个最少非零项的解呢？有问题，就必然有解决方法。我们不用上面的直接解方程了。我们来看另一种方法：
我们这样来想，有一组向量OA,OB,OC,OD。我们想要OA用OB,OC,OD来表示，学过线性代数的人都知道怎么解吧。我们换另一种方法来解，如图示
（1）先找到OA到其他各个向量的投影，找投影最大的那个对应的向量，图途中OB，那么OA就可表示成OA=OM+MA，这里为向量运算。假设OM和OB的长度比值为a，则OA=a（OB）+MA。嘿嘿有第一个表示向量了。如果求出来MA就搞定了，MA成为残差吧
（2）MA怎么求呢。和第一步一样，我们找MA到各个向量的投影，取最大的向量，比比如说找到了OC如右图，同样MA可以表示为MA=OA’=ON+NA’，假设ON和OC的长度比为b则MA=b（OC）+NA’.只要再求NA’就可以了。
（3）这样一直循环求，可以证明残差是不断减小的（证明网上去找吧），
（4）不妨让残差小于一定阈值的时候，我们就认为他们可以表示这个未知向量了。这样求出来了就是一个非零项较少的表示啦。比如我们认为这步骤（1）（2）两次就可以满足条件啦，如图3中蓝色线所示，那么我们最终得到向量为OM+ON+NA’=OM+MO’+O’A=OA，如果忽略残差NA’（因为她很小），则有OA≈OO’=a(OB)+b(OC)。于是OA就可以用OB和OC表示了，而不是全部向量来表示OA。这就是稀疏表示了。
上面的这个算法就是追踪算法，即MP算法。简单吧。MP算法不是最优的，得到的解是次优解。因为上图中，第（2）部的时候得到的NA’残差只是和OC垂直的，并不和OB垂直，这里是二维的情况。至于为什么请看它的改进算法OMP算法，就是每一次找最相似向量的时候要将已经找到的向量正交化。
矩阵A称为字典（大概是因为就像查字典一样吧，我想找到y，我就查这个A字典，A是一个过完备基，就是它包含了y像要的信息，那么怎么查呢，就是找到x，不妨认为x是页码吧，所以只要给定了这个字典A，然后再给我们一个字y，我们就能查到y在A中的页码x）。
二、
如果认为稀疏表示就是上面介绍的那么简单，那就太小看所遇到的问题了。还有一个问题，如何建立这个词典A呢，绝对不是上面举得那个简单的例子通过简单的采样得到。例如：给定一组信号y，如何建立一个词典A，使得每一个信号y的表示x最稀疏。这就是字典学习问题。
这个问题的解决办法目前有三种
efficient sparsecoding algorithm NIPS 06;
K-SVD tsp 06;
Online dictionary learning for sparse coding,ICML 09 & JMLR 10
http://blog.sina.com.cn/s/blog_6d0e97bb01015wol.html
http://blog.csdn.net/aichipmunk/article/details/8823537
http://blog.csdn.net/AIchipmunk/article/details/8712384
http://blog.csdn.net/scucj/article/details/7467955
稀疏编码的一般最优化公式为：
其中的零范数为非凸优化。那么如何解这么一个非凸优化问题呢？其中一个常用的解法就是MP算法。
MP算法
MP算法是一种贪心算法（greedy），每次迭代选取与当前样本残差最接近的原子，直至残差满足一定条件。
求解方法
首先解决两个问题，怎么定义“最接近原子”，怎么计算残差？
选择最接近残差的原子：MP里定义用向量内积原子与残差的距离，我们用R表示残差，di表示原子，则：
Max[Dist(R,di)]=max[<R,di>];
残差更新：R=R-<R,di>I;继续选择下一个，直至收敛；
需要注意的是，MP算法中要求字典原子||di||=1,上面的公式才成立。
我们用二维空间上的向量来表示，用如下的图来表述上面的过程：
上图中d1,d2,d3表示归一化的原子，红色向量r表示当前残差；
进过内积计算，<r,d3>最大，于是r分解为d3方向以及垂直于d3方向的两个向量(<r,d3>d3及r-<r,d3>d3)，把d3方向的分量（<r,d3>d3）加入到已经求得的重构项中，那么绿色向量（r-<r,d3>d3）变为新的残差。
再一轮迭代得到如下：
R往d1方向投影分解，绿色向量成为新的残差。
具体算法：
收敛性
从上面的向量图我们可以清楚地看出，k+1的残差Rk+1是k步残差Rk的分量。根据直角三角形斜边大于直角边，|Rk+1|<=|Rk|，则算法收敛。
注意事项：
1.上面也讲过，字典的原子是归一化的，也就是||di||=1，因为我们选取max<R,di>时，如果di长度不统一，不能得出最好的投影。
2.如果我们的字典只有两个向量d1,d2,那么MP算法会在这两个向量间交叉迭代投影，也就是f=a1d1+a2d2+a3d1+a4d2+…..;也就是之前投影过的原子方向，之后还有可能投影。换句话说，MP的方向选择不是最优的，是次优的。
如下图：
这也是其改进版本OMP要改进的地方。
OMP算法 （ smit正交化）
也就是正交的MP算法。
MP算法的次最优性来源其残差只与当前投影方向垂直，这样在接下来的投影中，很有可能会再次投影到原来的方向。
于是，在投影时，如果我们使得残差Rk+1与x1-xk+1的所有向量垂直，则可以克服这个问题，如下：
求解方法
假设我们已经得到了第k步的最优解：
我们要继续更新到第k+1步，目标是得到：
需要注意的是，我们下一步更新时，之前原子的系数 也要更新，否则不能满足约束。
于是我们需要求得如何更新之前原子系数 ，以及如何求得下一个投影方向 。
收敛性：
同样根据勾股定理，得到如下：
于是算法收敛。
具体步骤：
最后，贴一个sparse求解的工具包，里面包含了MP，OMP算法的代码：
http://spams-devel.gforge.inria.fr/
参考文献：
http://lear.inrialpes.fr/people/mairal/tutorial_iccv09/
http://blog.csdn.net/scucj/article/details/7467955
参考文献：
