「高等数学」1.3 函数的极限

函数极限的定义

函数极限的一般概念: 在自变量的某个变化过程中, 如果对应的函数值无限接近于某个确定的数, 那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限.

1. 自变量趋于有限值时函数的极限

前提: 考虑自变量 \(x\) 的变化过程为 \(x \rightarrow x_0\). 假定函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个去心邻域内是由定义的.

如果在 \(x \rightarrow x_0\) 的过程中, 对应的函数值 \(f(x)\) 无限接近于确定的数值 \(A\), 那么就说 \(A\) 是函数 \(f(x)\) 当 \(x \rightarrow x_0\) 时的极限.

定义: 设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义. 如果存在常数 \(A\), 对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) (无论它多么小), 总存在正数 \(\delta\), 使得当 \(x\) 满足不等式 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时, 对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式

\[|f(x) - A| < \varepsilon, \]

那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x \rightarrow x_0\) 时的极限, 记作

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = A 或 f(x) \rightarrow A (当 x \rightarrow x_0). \]

简单表达为

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exist \delta > 0, 当 0 < |x - x_0| < \delta 时, 有 |f(x) - A| < \varepsilon. \]

定义中 \(0 < |x - x_0|\) 表示 \(x \ne x_0\), 所以 \(x \rightarrow x_0\) 时 \(f(x)\) 有没有极限, 与 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 是否有定义并无关系.

\(x\) 仅从 \(x_0\) 的左侧趋于 \(x_0\) 记为 \(x \rightarrow x_0^-\), \(x\) 仅从 \(x_0\) 的右侧趋于 \(x_0\) 记为 \(x \rightarrow x_0^+\).

在 \(x \rightarrow x_0^-\) 的情形, \(x\) 在 \(x_0\) 的左侧, \(x < x_0\). 在 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\) 的定义中, 把 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 改为 \(x_0 - \delta < x< x_0\), 那么 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x \rightarrow x_0\) 时的左极限, 记作

\[\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A 或 f(x_0^-) = A. \]

类似的, 在 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\) 的定义中, 把 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 改为 \(x_0 < x < x_0 + \delta\), 那么 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x \rightarrow x_0\) 时的右极限, 记作

\[\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A 或 f(x_0^+) = A. \]

左极限与右极限统称为单侧极限.

函数 \(f(x)\) 当 \(x \rightarrow x_0\) 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即 \(f(x_0^-) = f(x_0^+).\) 因此, 即使 \(f(x_0^-)\) 和 \(f(x_0^+)\) 都存在, 但若不相等, 则 \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 也不存在.

2. 自变量趋于无穷大时函数的极限

定义: 设函数 \(f(x)\) 当 \(|x|\) 大于某一正数时有定义. 如果存在常数 \(A\), 对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) (无论它多么小), 从存在着正数 \(X\), 使得当 \(x\) 满足不等式 \(|x| > X\) 时, 对应的函数值 \(f(x)\) 都不满足不等式

\[|f(x) - A| < \varepsilon, \]

那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x \rightarrow \infty\) 时的极限, 记作

\[\lim_{x \to \infty} f(x) = A 或 f(x) \rightarrow A (当 x \rightarrow \infty). \]

简单表达为

\[\lim_{x \to \infty} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exist X > 0, 当 |x| > X 时, 有 |f(x) - A| < \varepsilon. \]

在几何上, \(\lim_{x \to \infty} f(x) = A\), 直线 \(y = A\) 是函数 \(y = f(x)\) 的图形的水平渐近线.

函数极限的性质

定理 \(1\) (函数极限的唯一性) : 如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 存在, 那么这极限唯一.

定理 \(2\) (函数极限的局部有界性) : 如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\), 那么存在常数 \(M > 0\) 和 \(\delta > 0\), 使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时, 有 \(|f(x)| \le M\).

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定理 \(3\) (函数极限的局部保号性) : 如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\), 且 \(A > 0 (或 A < 0)\), 那么存在常数 \(\delta > 0\), 使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时, 有 \(f(x) > 0 (或 f(x) < 0)\).

证明:

\[就 A > 0 的情形证明.\\ 因为 \lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0, 所以, 取 \varepsilon = \dfrac{A}{2} > 0, 则 \exist \delta > 0, 当 0 < |x - x_0| < \delta 时, 有\\ |f(x) - A| < \dfrac{A}{2} \Rightarrow f(x) > A - \dfrac{A}{2} = \dfrac{A}{2} > 0.\\ 类似地可以证明 A < 0 的情形. \]

从证明中可知, 在定理 \(3\) 的条件下, 可得下面更强的结论:

定理 \(3'\): 如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A (A \ne 0)\), 那么就存在着 \(x_0\) 的某一去心邻域 \(\overset{\circ}{U} (x_0)\) 时, 就有 \(|f(x) > \dfrac{|A|}{2}\).

推论: 如果在 \(x_0\) 的某去心邻域内 \(f(x) \ge 0 (或 f(x) \le 0)\), 而且 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\), 那么 \(A \ge 0 (或 A \le 0)\)

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定理 \(4\) (函数极限与数列极限的关系) : 如果极限 \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 存在, \(\left \{ x_n \right \}\) 为函数 \(f(x)\) 的定义域内任一收敛于 \(x_0\) 的数列, 且满足: \(x_n \ne x_0 (n \in \mathbf{N_{+}})\), 那么存在相应的函数值数列 \(\left \{ f(x_n) \right \}\) 必收敛, 且 \(\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{x \to x_0} f(x)\).